path: root/2025mech.tex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
\renewcommand{\d}{\partial}
\usepackage[margin=0.4in]{geometry}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
%\everymath{\displaystyle}

\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
\DeclareMathOperator{\gradient}{grad}
\DeclareMathOperator{\rotor}{rot}


\begin{document}

Билет 1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона.
Система координат и тело отсчета. Часы. Система отсчета. Эталоны
длины и времени.
\begin{itemize}\setlength\itemsep{0cm}
	\item Механика - Наука, изучающая движение и равновесие [частей] тел; основная задача механики - получение законов разных видов движения. 
	\item Пространство - геометрическая модель материального мира, aобладает свойствами: трёхмерное, однородное, изотропное, евклидное (в $[10^{-35}, 10^{26}]$м
	\item Время - непрерывная физическая величина, измеряемая сравнением с определённым эталоном. Обладает свойством однонаправленности и необратимости, равномерности
	\item Система координинат - совокупность $N [=3]$ линейно независимых осей, пересекающихся в одной точке. 
	\item Тело отсчёта - тело, относительно которого рассмтривается движение тел.  
	\item Часы - прибор измерения времени, основан на сравнении с "эталоном" - периодическим процессом
	\item Система отсчёта - совокупность (Системы координат; Тела отсчёта; Набора часов в разных точках пр-ва). 
	\item Эталон секунды - $9\,192\,631\,770$ колебаний элмаг излучения ($\leftarrow$переход между 2 урoвнями $Cs_{133}$),
		Метра - Длиина пути света в вакууме за $\frac{1}{299\,792\,458}$с
\end{itemize}



Билет 2. Кинематика точки и системы материальных точек. Способы описания
движения. Уравнение кинематической связи. Закон движения.
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Кинематика - раздел мех., движение тел - \cmark, причины движения - \xmark
	\item Описание движения: 
		Ествественный способ: траектория $L$ + начало $O$ + положение на $L$  =$s(t)$; 
		\textit{закон} движения [координатный/векторный]: $\vec r(t) \equiv \{x(t); y(t); z(t)\}$;
		графический
	\item Уравнение кинмат. связи - Уравнение, связывающее кинемат. характеристики ($\vec r,\,\vec v,\,\vec a$)
\end{itemize}



Билет 3-4. Инерциальные системы отсчета (ИСО). Преобразования Галилея и их
следствия. Возможность использования Земли как ИСО. Эксперименты,
показывающие неинерциальность Земли. Законы динамики. Понятия массы, импульса и силы в механике Ньютона.
Первый, второй и третий законы Ньютона. Уравнение движения и его
решение. Роль начальных условий
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Масса: мера количества вещества(материи), содержащегося в теле. Она аддитивна и инвариантна.
		Эталон: 1кг = масса цилиндра на 90\% платины, 10\% иридия высотой и диаметром 39 мм. Точность: $10^{-8}$
	\item Испульс: Мера количества двжиения $\vec p = m\vec v$. Закон движения тогда $\dot{\vec p} = \vec F$
	\item Сила: мера взаимодействия тел. Единица силы: 1Н: Такая сила, которая массе 1кг придаст ускорение 1м/$c^2$.
		1Н = $\frac{kg\cdot m}{c^2}$
	\item Первый закон ньютона: $\exists$ ИСО такие, что Мат. Точка, на которую не действуют силы (или $\sum \vec F=0$), находится в покое или в равномерном прямолинейном движении
		\subitem (Такая мат. точка называется изолированной)
	\item Второй Закон Ньютона: Ускорение тела порп. равнод. силе, совпадает с ней по направлению и обратно проп. массе: $\vec F = m\vec a$
	\item Третий: Силы возникают парами, они приложены к взаимод. телам, равны по модулю, противоп. по направлению, 
		одной природы и действуют вдоль одной прямой
	\item Принцип относительности Галилея: $\forall$ мех. явления подчиняются одним законом в $\forall$ ИСО	
	\item Преобразования Галилея: ИСО $S'$ движется относ ИСО $S$ по оси $x$ со скоростью $v$. тогда 
		$\left\{\begin{aligned}\vec r &= \vec r' + \vec u t \\ t &= t'\end{aligned}\right.$ 
	\item Маятник Фуко: поворачивается вокруг своей оси вращения \\
		Допустим он на северном полюсе. Тогда уравнение моментов: 
		$J\ddot {\vec\alpha} = m \vec l \times \vec g -  2 m [\vec l \times [\vec \Omega \times [\vec l \times \vec \omega]]]$ \\
	\item Отклонение падающих тел к Востоку: $l_0 = \frac 2 3 \omega h \sqrt{\frac{2h}{g}}$. для $h = 100$м, $l_0 \approx 2.2$см $\approx 2\%$
\end{itemize}


Билет 5. Законы, описывающие индивидуальные свойства сил. Закон всемирного
тяготения. Закон Гука. Законы для сил сухого и вязкого трения. Явление
застоя. Явление заноса.
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_{\max}$, чтобы привести груз
	в движение (задача с затухающими колебаниями на шероховатой доске)
	\item явление заноса: при движении тела, перпендикулярная сила трения покоя =0 
	(задача: на ленте лежит груз, груз на пружине и стоит на месте, лента под ним едет, 
	тогда сколь угодно малая сила $\perp$ движению сместит груз. Если бы лента не двигалась,
	такого бы не было)
\end{itemize}


Билет 6. Система материальных точек. Число степеней свободы системы.
Изолированная и замкнутая системы материальных точек. Закон
сохранения импульса.
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Число степеней свободы: Количество независимых переменных, необходимых для
	однозначного задания состояния системы. Пример: Мат. точка - 3, $(x, y, z)$;
	Аб. твёрд. тело - 6, $(x, y, z, \alpha, \beta, \gamma)$.
	\item изолированная система: $\not \exists F_\text{внешн.}$
	\item замкнутая система: $\sum \vec F_\text{внешн.} = 0$ 
\end{itemize}


Билет 7. Центр масс. Теорема о движении центра масс.
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Центр масс системы: $\vec r = \frac 1 M \sum_i^n m_i \vec r_i$ - такая  точка, которая,
	имея массу, равную суммарной массе системы, при движении со скоростью $\vec v$ 
	(скорость центра масс) имеет такой же импульс, как система материальных точек
	\item $M\vec r = \sum_i^n m_i \vec r_i \implies M\vec v = \sum_i^n m_i\vec v_i \implies 
	P = M\vec v.\\ \vec F=\frac{d\vec P}{dt} \implies M\vec a = \vec F$, где $\vec a$ - ускорение 
	центра масс, $\vec F$ - равнодействующая сил, действующих на систему
\end{itemize}


Билет 8, 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского (8). Формула циолковского (9).
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Движение тел с $M \not = const$. Пусть $M(t), v(t)$ - ракета, $u=const$ - топливо. \\
	$Mv = (M+dM)(v+dv) + (-dM)(v-u),\;(dMdv << 1)\; \implies Mdv+udM = 0;\; 
	M\frac{dv}{dt} = -u\frac{dM}{dt};\;\mu = -\frac{dM}{dt};\;\vec F = -\mu\vec u$ (последнее просто определили) \\
	$M(t)\frac{dv}{dt} = F$. Теперь учтём присоединение массы со скоростью $\vec w$, работу
	внешних сил $Fdt$ и произвольное направление скоростей. Получим:\\
	$M d\vec v=-\vec udM_{-}+\vec wdM_{-}+\vec Fdt \implies \\
	\implies M(t)\frac{d\vec v}{dt} = \vec u \mu_{-} + \vec w \mu_{+} + F$ \\
	Это соотношение называется уравнением мещерского. В общем виде оно сложно и решается численно.
	\item Рассмотрим частный случай: 
	$\displaystyle Mdv + udM = 0 \implies \frac{dM}M = -\frac{dv}u
	\int_{M_0}^M \frac{dM}M = -\int_{v_0}^v \frac {dv} u;\; \ln\frac{M}{M_0} = -\frac{v-v_0}{u}$ \\
	$v = v_0 - u\ln\frac M{M_0}$ - Формула Циолковского, которая позволяет оценить конечную скорость ракеты
\end{itemize}


Билет 10-11. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
Консервативные силы и системы. Потенциальная энергия. (10). 
Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон изменения и сохранения 
механической энергии (11)
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item $\delta A = \vec Fd\vec r = Fdr\cos\alpha;\;A=\int_1^2\vec F d \vec r \\
	\delta A = m\frac{d\vec v}{dt}dr = d\left(\frac{mv^2}2\right) \\
	A = \int_1^2 \vec F d\vec r = \int_1^2 d\left(\frac{mv^2}2\right) = 
	\frac{mv^2_2}2 - \frac{mv^2_1}2 = W_{k_2} - W_{k_1}$
	\item Консервативные силы: Работа не зависит от пути, определяется только начальным и конечным
	положением. Консервативные - Работа зависит от формы пути\\ 
	Кратко: $\nabla \times \vec F = 0$ \\
	Примеры консерв.: Поле тяжести земли; неконсерв.: сила трения, реактивная сила
	\item [пример] Работа силы упругости: $A = \int_1^2 (-kx)dx - \frac k 2 (x_2^2 - x_1^2)$
	\item Потенциальная энегрия: $!\exists$ в консвервативных силах. \\
	$dW_p = -dA;\; A = \int_1^2 \vec F d\vec r = -(U_2 - U_1) = U_1 - U_2$. 
	Поскольку работа зависит только от начального и конечного положения, поэтому 0
	определяется нормировкой 
	\item Некоторые потенциальные формулы: $\left\{\begin{aligned} 
		U(x) &= \frac{kx^2}2 &; U(0) = 0 \\ 
		U(x) &= -G \frac{m_1 m_2}r &; U(\infty) = 0 \\
		U(h) &= mgh &; U(0) = 0 \\
		U(r) &= \frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}r &; U(\infty) = 0
	\end{aligned}\right.$
	\item Набла и градиент: $dA = \vec F d \vec r = -dU = 
	(F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k)(dx\vec i + dy\vec j + dz\vec k) = 
	-\left(\frac{\d U}{dx}dx + \frac{\d U}{dy}dy + \frac{\d U}{dz}dz\right) \\ 
	\vec F = - \nabla U [= -grad U]$ - такое поле называется потенциальным. Стационарное поле: 
	$F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\d U}{\d x}dx + \frac{\d U}{\d y}dy +\frac{\d U}{\d z}dz$
	\item Полная механическая энергия: В поле консерв: $A_{full} = A + A_{ext},\;A=\Delta W_p 
	\implies \Delta W_k = \Delta W_p + A_{ext}\quad(1)$ \\ 
	$W = W_k + W_p$, $W_2 - W_1 = A_{ext} = $ работа внешних сил\quad $(2)$ \\
	$(1), (2) \implies \Delta W = A_{ext}$ - закон изменения механической энергии \\
	Если сторонние силы не совершают работу или отсуствуют, то полная механическая энергия в поле
	консервативных сил не изменяется $E = const,\;\frac{dE}{dt} = 0$
\end{itemize}


Билет 12. Соударения тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса
при соударениях тел.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Абс. Упр: $\sum {W_\text{кин}}_1 = \sum {W_\text{кин}}_2$
	\item Абс. Неупр: $v_1'=v_i'=const$
	\item ЗСИ напрямую из II закона Ньютона
	\item ЗС Мех. Эн в прошлом билете
	\item ЗС момента импульса: $\sum \vec M = 0 \implies \vec L = \vec \omega J = const$
\end{itemize}


Билет 13. Неинерциальные системы отсчета. Движение материальной точки
относительно неинерциальной системы отсчета. Силы инерции. Переносная
и кориолисова силы инерции. Центробежная сила инерции.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item $\vec a_\text{абс} = \underbrace{\frac{d^2\vec r}{dt^2}}_{a_\text{отн}}
	+ \underbrace{\frac{d^2\vec {R_0}}{dt^2} 
	+ \left[\frac{d\vec\omega}{dt}\times \vec r\right] 
	+ \left[\vec\omega \times \left[\vec\omega\times\vec{r}\right]\right]}_{a_\text{пер}}
	+ \underbrace{2\left[\vec\omega\times\vec v\right]}_{a_\text{Кор}}$
\end{itemize}


Билет 14. Кориолисова сила инерции. Примеры ее проявления на Земле.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item примеры: 
		Река, текущая с севера на юг в сев. полушарии (и не на экваторе), имеет западный берег выше восточного; \\
		Маятник Фуко изменяет плоскость своих колебаний за счёт силы кориолиса; \\
		Тело, отпущенное с высоты и падающее на землю, будет лететь не к центру земли, а немного на восток
\end{itemize}


Билет 15. Кинематика абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное
движение твердого тела. Плоское движение. Угловая скорость и угловое
ускорение. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Поступательное: $\forall$ отрезки тела $\parallel \forall t$ 
	\item Вращательное: $\forall$ точки движутся по окружностям $\perp$ оси вращения с общим центром на оси вращения
	\item Плоское: траектории $\forall$ точек лежат в $\parallel$ плоскостях 
	\item Мгновенная ось вращения: такая ось, вокруг которой плоское движение
		можно представить только как вращательное (ось, относительно которой
		плоско движущееся тело не двигается поступательно)
	\item Теорема Эйлера: Если твёрдое тело закреплено в одной точке, то оно может быть
		переведено из одного положения в $\forall$ другое одним поворотом вокруг неподвижной
		оси $\subset$ точку закрепления. Значит, $\forall t \exists O$ - мгновенная ось вращения. 		
\end{itemize}


Билет 16. Уравнение моментов для вращательного движения твердого тела
вокруг закрепленной оси. Момент инерции относительно оси и приёмы
его вычисления. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
		\item $J = \int \rho^2dm$. Для шара: $dm = \frac m V r^2 \sin\theta drd\varphi d\theta;\,\rho=r\sin\theta 
			\implies J = \frac m V \int_0^Rr^4dr\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin^3\theta d\theta = \frac 2 5 mR^2$ \\
			Для плоской фигуры: $x, y \in shape \implies dJ_z = (x^2+y^2)dm = dJ_x + dJ_y$
	\item Теорема Г-Ш: Пусть есть 2 оси, одна через Ц.М., вторая параллельна ей.
		Момент инерции относ. оси 2: $J=\sum_i \Delta m_i \rho_i^2 = 
		\sum_i \Delta m_i (\vec R_i - \vec a)^2 = 
		\sum_i \Delta m_i R_i^2 + \sum_i \Delta m_i a^2 - 2\vec a\sum_i\Delta m_i \vec R =
		J_0 + ma^2 + 0 = J_0 + ma^2$
\end{itemize}


Билет 17. Теорема Кёнига. Кинетическая энергия твердого тела при плоском
движении.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Т-ма кёнига: Связывает кин. Энегрии между системами отсчёта: $W_k = W_0 + W'$,
		т.е. кин. энергия = сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в движении относительно ц.м.
	\\ Вывод: 
	$v' = u+v, W = \sum_i \frac{m_i{v'}_i^2}{2} = \frac 1 2 \sum_i m_i (\vec v + \vec u)^2 = 
		\frac {mv^2}2^{[=W_0]} + \vec v \sum_i m_i \vec {u_i}^{[=0]} + \frac 1 2 \sum_i m_i {u_i^2}^{[=W']}$
	\item По теореме Кёнига, при плоском движении $W_k = W_0 + W' = \frac{mv^2}2 + \frac{J\omega^2}2$
\end{itemize}


Билет 18. Момент импульса материальной точки. Момент силы. Закон
сохранения момента импульса для материальной точки.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item $\vec L=\vec \omega J$
	\item $\sum\vec M=0\implies\vec L = const$
\end{itemize}


Билет 19. Движение абсолютно твердого тела с закрепленной точкой. Тензор
инерции. Осевые и центробежные моменты инерции.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Закреплённая точка: 3 степени свободы
	\item Тензор инерции выводится через \\
	$\vec L = \int \left[\vec r \times d \vec p\right], d\vec p = \vec v dm = \left[\vec \omega \times \vec r\right]dm $ \\
	$\vec L = \mathbf J \cdot \vec \omega,\quad J = \begin{pmatrix}
		J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\
		J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\
		J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \\
	\end{pmatrix}, J_xx = \int dm \left(y^2 + z^2\right), J_xy = -\int dmxy$
	\item осевой момент инерции: выводится из $\vec r = \vec r_\perp + \vec r_\parallel$ и $\vec S$: \\
		$J = \displaystyle{\sum_{i,j \leftarrow x,y,z}J_{ij}S_iS_j}\quad(S_xS_y=\cos\alpha\cos\beta, \dots)$
	\item Центробежный: ось через Ц.М. Тела
\end{itemize}


Билет 20. Главные и центральные оси вращения. Силы и моменты сил, действующие
на вращающееся твердое тело. Свободные оси вращения.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Главная ось вращения: Тензор инерции диагонализирован
	\item центральные оси вращения: через Ц.М.
	\item свободные оси: силы не действуют на эту ось при вращении
		\\ Такая ось обязательно Центральная И главная
	
\end{itemize}


Билет 21. Гироскопы. Прецессия гироскопа. Угловая скорость вынужденной
прецессии. Уравнение (формула) гироскопа. Гироскопические силы.
Правило Н. Е. Жуковского. Волчки.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 22. Динамика твердого тела. Уравнение движения центра масс и уравнение
моментов. Динамика плоского движения твердого тела.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 23. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение
гармонических колебаний. Его решение. Пружинный и математический
маятник. Механическая энергия системы, совершающей свободные
колебания.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 24. Свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний. Частота
и период колебаний. Фаза и начальная фаза. Начальные условия.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 25. Сложение гармонических колебаний. Биения. Частота биений. Фигуры
Лиссажу.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 26. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний, его решение.
Показатель затухания. Логарифмический декремент затухания. Время
релаксации. Добротность.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 27. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его
решение. Процесс установления колебаний.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 28. Резонанс. Амплитудная резонансная кривая. Ширина амплитудной
резонансной кривой и добротность.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 29. Понятие о нелинейных колебаниях. Параметрическое возбуждение
колебаний. Автоколебания. Релаксационные колебания.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 30. Связанные колебательные системы. Нормальные колебания (моды) и
парциальные колебания. Нормальные и парциальные частоты.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 31. Волны. Распространение «импульса» в среде. Продольные и поперечные
волны. Уравнение бегущей волны. Скорость волны и скорости «частиц».
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 32 (34). Волновое уравнение, его решение. Плоская гармоническая бегущая
волна. Волны смещений, скоростей, деформаций.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 33. Волны на струне, в стержне, в газовой среде. Связь скорости волны со
свойствами среды.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 35. Стоячие волны. Распределение амплитуд смещений, скоростей и
деформаций «частиц» в стоячей волне. Узлы и пучности.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 36. Нормальные колебания струны, стержня, столба газа. Акустические
резонаторы, резонаторы Гельмгольца.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 37.Элементы акустики. Звуковые волны. Высота и тембр звука. Громкость
звука.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 38. Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова. Интенсивность волны.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 39. Движение со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны. Конус Маха.
Число Маха.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 40.Классический эффект Доплера.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 41.Основные понятия теории относительности. Пространство и время в
релятивистской механике. Два постулата Эйнштейна. Синхронизация
часов.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 42. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований Лоренца.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 43. Собственная длина и собственное время. Лоренцево сокращение длины
движущихся отрезков. Релятивистское замедление темпа хода движущихся
часов.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 44. Событие в специальной теории относительности. Интервал между
событиями. Инвариантность интервала. Свето-подобные, времени-
подобные и пространственно-подобные интервалы.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 45. Относительность одновременности. Интервал между событиями.
Причинно-следственная связь между событиями. Скорость света как
максимальная скорость распространения сигналов.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 46. Сложение скоростей в релятивистской механике.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 47. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения. Понятие о
сопутствующей системе отсчета.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 48. Энергия частицы в релятивистском случае. Связь энергии, импульса и
массы.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item

\end{itemize}


Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая
и остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига,
кручения, изгиба. Количественные характеристики деформаций.
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Деформация - вшен. воздействие $\rightarrow$ изменение взаимного расположения материальных точек тела $\rightarrow$ искажение формы, размера, появление напряжений
	\item Упругие деф.: полностью исчез после прекращения действия сил; Неупругие: остаются; Остаточные [пластические]: те, что остались.
	\item Типы деформаций: растяжение, сдвиг, кручение, изгиб; элементарные: растяжение, сдвиг (остальлные: суперпозиция). 

		Растяжение: 
			$\Delta l = l - l_0$ - абсолютное удлинение; 
			$\varepsilon_{\parallel} = \frac {\Delta l}{l_0}$ - относ. удл.; 
			$\varepsilon_\perp = \frac{\Delta d}{d}$; 
			$\mu = -\frac {\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel} > 0$ - Коэффициент Пуассона;
			$\sigma = E\varepsilon_\parallel$ - закон гука; \\
		На графике $\sigma(\varepsilon)$: предел проп $\rightarrow$ предел упругости $\rightarrow$ предел текучести $\rightarrow$ предел прочности $\rightarrow$ разрыв \\
		$V' = l'd'^2 \approx V(1+\varepsilon_\parallel + 2\varepsilon_\perp) \implies \frac{\Delta V}{V} \approx \varepsilon_\parallel(1-2\mu)$; $\mu \in \left(0; \frac 1 2\right)$

		Сдвиг: $\tau = G\gamma\quad[\gamma = \tan\alpha]$ - модуль сдвига;

		Кручение: $M = f\varphi,\quad f = \frac{\pi G R^4}{2l}$ - модуль кручения

		Изгиб:
		$u(l) = \frac {Fl^3}{3EJ}$ - стрела прогиба
	\item Количественные характеристики деформаций: 
		$E$ - модуль упругости (Юнга) $\sim 10^7$ для металлов, 
		$G$ - модуль сдвига $\sim 10^6$ для металлов, 
		$f$ - модуль кручения, 
		$u$ - стрела прогиба
\end{itemize}


Билет 50. Закон Гука для различных видов деформаций. Модуль Юнга.
Коэффициент Пуассона. Модуль сдвига. Связь между модулем Юнга и
модулем сдвига (формула с пояснением).
\begin{itemize}
	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Закон гука: относительная деформация $\varepsilon \propto \sigma$ - напряжениям; $\sigma = \varepsilon E;\; \sigma_\tau = \gamma G$
	\item Модуль Юнга(упругости) - $E = \frac 1 \chi$ - обратный коэфф. пропорциональности; $[E]$=Па
	\item Модуль сдвига - $G$ - то же самое, но связывает $\gamma = \tan\alpha$ с $\sigma_\tau$
	\item К. Пусассона: $-\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel}$
	\item Связь модуля Юнга и Сдвига: [Вывод: Алешкевич 259] $G = \frac E {2(1+\mu)}$. 
		Непонятки!: $\tan\left(\frac \pi 4 + \beta\right) \approx 1 + \frac 1 {\cos^2\frac \pi 4}\beta = 1 + 2\beta$.  \\
		Сам Алгоритм вывода: Рисуем куб, внутри него ромб, начинаем куб растягивать. Надохим связь растяжения и угла сдвига ромба (тут угол $\ll$1, $\tan(\frac\pi 4 + \alpha)\rightarrow1+2\alpha$)
		, потом выражаем угол сдвига через $\varepsilon,\,\mu$, рисуем как напряжение передаётся на грани ромба с граней куба, находим связь $\\\sigma = 2\sigma_\tau$
		, получаем формулу, profit
\end{itemize}


Билет 51. Энергия и объемная плотность энергии деформированного твердого тела.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item $dA = fdx = \sigma l^2 dx = [d\varepsilon = \frac {d(\Delta l)}l = \frac {dx}l] =\sigma l^3 d\varepsilon \implies A_\varepsilon = l^3\int_0^\varepsilon\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ \\
		Аналогично $A_\gamma = l^3\int_0^\gamma \sigma_\tau(\gamma)d\gamma$ 
		т.к. $\sigma(\varepsilon)$ не линейна в общем случае, то мы берём интаграл. 
		Для линейного случая: $A = \frac{E\varepsilon^2}2l^3 = \frac{G\gamma^2}2l^3$, объёмная плотность $w=\frac A {l^3}$ \\
		В общем виде: $\exists$ Упругий гистерезиз: петля остаточных деформаций, и её площадь равна работе, затраченной на нагревание
\end{itemize}


Просто на всякий случай вывод уравнения эйлера для Идеальной жидкости (ПО ЯКУТЕ??): \\
рассмотрим цилиндр жидкосaти:\\
$
	dD_x $(сила давления)$ = dS(p(x) - p(x+dx)) = -\frac{\d p}{\d x}dSdx
	= -\frac{\d p}{\d x}dV \implies d\vec D = -\nabla p dV \\
	dm\frac{d\vec v}{dt} = d\vec F + d\vec D\hspace{1cm}/dV\implies \frac{dm}{dV}\frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec F}{dV} - \nabla p \\
	\rho \vec a = \vec f - \nabla p. \hspace{1cm} $Если в равновестии: $ \vec a = \vec 0 \implies 
	f = \nabla p
$

А теперь вывод уравнения (ПО АЛЕШКЕВИЧУ):


Билет 52. Основы гидро- и аэростатики. Давление и сила давления. Основное
уравнение гидростатики. Закон Паскаля. Гидравлический пресс.
\begin{itemize}	
	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Давление $p_{ij}=-\sigma_{ij}$
	\item Закон паскаля: $\forall \{x,y,z,\alpha,\beta,\gamma\}:p = const$, или словами:
		В покоящейся жидкости во всех точках и во всех направлениях давление постоянно.
		Доказательство: условие равновестия кубика (противоположные грани) + треугольника (соседние грани)
	\item Силы давления: это давление умноженное на площадь поверхности, к которой они приложены
	\item Гидравлический пресс: есть 2 соединённых трубки разной толщины. по закону паскаля $F_1S_1 = F_2S_2 = const 
		\implies F_2 = \frac{S_1}{S_2}F_1$
	\item основное уравнение гидростатики: пусть на кубик действует сила $\vec fdV$.
		Для равновесися: $p(x,y,z)dydz-p(x+dz,y,z)dydz+f_xdxdydz = 0 \implies 
		-\frac{\d p}{\d x} + f_x = 0;
		-\frac{\d p}{\d y} + f_y = 0;
		-\frac{\d p}{\d z} + f_z = 0;
		\\
		-\nabla p + f = 0,\quad$ (а если F консервативная, то...) $F = -\nabla U \implies \nabla (p + U) = 0 \implies p + U = const$
	\item Давление в поле силы тяжести: $F = mg \implies f = \rho g. U(x) = -\rho gx + const \implies p(x) = \rho gx + const = \rho gx + p_0$ - атмосферное давление
		При вращении сосуда: $U(x, r) = -\rho gx - \frac 1 2 \omega^2 r^2 + const \implies p(x,r) = p_0 + \rho gx + \frac 1 2 \rho\omega^2 r^2$
\end{itemize}


Билет 53. Распределение давления в покоящейся жидкости (газе) в поле силы
тяжести. Барометрическая формула.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item $\vec f = \nabla p$
	\item В жидкости: [см прошлый билет]
	\item В газе: $\rho = \frac{\mu P}{RT}; \frac{\d p}{\d x} = - \rho g = -\frac{\mu P}{RT}g.
	\quad T = const \implies P = P_0e^{-\frac{\mu g}{RT}x} = P_0 e^{-x/H}$ - это и есть барометрическая формула. $H$ - высота изотермической плотности
\end{itemize}


Билет 54. Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел. Центр
плавучести и метацентр.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Сила архимеда действует на центр масс вытесненной жидкости (центр плавучести) 
		и по сути является равнодействующей сил давления
		$\sum_i f_i\Delta S_i = -\sum_ip_i\Delta S_i \vec{n_i}$. Более простой способ посчитать силу:
		$\vec{F_A} = -m\vec g$, где $m$ - масса заменённой жидкости
	\item Метацентр: Центр кривизны линии, образованной центрами плавучести коробля при креновании
	\item условия плавучести: $F_A > mg$; остойчивости под водой: ц.м. ниже ц.плавучести; остойчивости на воде [корабля]:
	метацентрическая высота $OM > 0$. По госту для торговых судов $> 0.15$м, пассажирских $> 0.2$м
	\item Крен, дифферент, малый и большой метацентр
\end{itemize}


Билет 55. Стационарное течение жидкости (газа). Линии тока. Трубки тока.
Идеальная жидкость. Течение идеальной жидкости. Уравнение
Бернулли, условия его применимости.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Стационарное течение: такое, в котором поле скоростей не зависит от времени, а только от координаты
	\item Линия тока: $\forall$ точкa: касательная $\supset$ вектор скорости частицы в данной точке
	\item Трубка тока: Поверхность, образованная линиями тока через замкнутый контур
	\item Идеальная жидкость: при любых движениях $\not\exists \sigma_\tau$ (кас. напряжения)
	\item Течет так (одномерно): $m = \rho_1v_1S_1 = \rho_2v_2S_2;\;\rho=const \implies V=v_1S_1=v_2S_2 
	\equiv \frac{\d v_x}{\d x} + \frac{\d v_y}{\d y} +\frac{\d v_z}{\d z} = 0
	\equiv \divergence \vec v = 0$ (условие несжимаемости) \\
	$\rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + v_x\frac{\d v_x}{\d x}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f
	\equiv \rho \left(\dot{\vec v} + \vec v \nabla \vec v\right) = \vec f - \nabla p$

	Вывод: $\rho \dot{v_x} = -\frac{\d p}{\d x} + f_x $ (II з.Н.) $
	\implies [dv_x = \frac{\d v_x}{\d t}\d t + \frac{\d v_x}{\d x}\d x] 
	\implies \rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + \frac{\d v_x}{\d x}\frac{\d x}{\d t}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f$
	\item Уравнение бернулли: частный случай: $\frac{\d v_x}{\d t}=0 \land f_x=0 \implies 
	\rho v_x \frac{dv_x}{dx} = -\frac{dp}{dx} \implies \frac{d}{dx}\left(\frac{pv_x^2}2 + p\right) = 0 \implies \\
	\implies \frac{\rho v_x^2}2 + p = const$ \\
	Общий вид: $\exists$ рандомная трубка, введём криволин. координату l вдоль неё. у. Эйлера: $\rho v \frac{dv}{dl} = -\frac{dp}{dl} + \rho g \cos\alpha
	\stackrel{[\cos\alpha = -\frac{dh}{dl} \text{(геометрия)}]}\implies \rho \frac{d}{dl}\left(\frac{v^2}2\right) + \frac{dp}{dl} + \rho g\frac{dh}{dl} = 0
	\stackrel{[\rho=const]}\implies \frac{d}{dl}\left(\frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh\right) = 0 \implies
	\\\implies \frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh = const$ (Уравнение бернулли) \\
	$p$ - статическое давление; $\frac{\rho v^2}2$ - динамическое давление
	\item уравнение бернулли можно применять, если жидкость идеальная, течение стационарное,
	сечения потока плоские и $\perp v_{\text{частиц}}$; если жидкость сжимаемая, то $\Delta p=const \land dT = 0 \land $ течение неразрывное
\end{itemize}


Билет 56. Сила вязкого трения. Закон Ньютона для вязкого трения. Вязкость.
Число Рейнольдса.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item Сила, которая появляется из-а относительных движений слоёв жидкости. Каждый слой действует на соседние, "усредняя их скорость"
	\item Экспериментально установлено (Ньютоном): при движении 2 паралл. пластинок относ. друг друга в жидкости сила сопротивления 
	$F \propto S, v, \frac 1 h \implies F = \eta\frac{Sv}h$, но только если $h \ll \sqrt S$. Обусловлено тем, что
	слои жидкости "увлекают" друг друга за собой 
	\item см. билет 58
\end{itemize}


Билет 57. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Формулы Пуазейля: расссотрим бесконечно маленький цилиндр в трубе. 
		$F_\text{тр.} = \eta S \frac{\d v}{\d r} = 2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r}$. Т.к.
		течение стационарное ($v=const$), сила трения уравновешивается силой
		разницы давлений $F_g = \pi r^2 (P(x) - P(x+dx)) = -\pi r^2 \frac{dP}{dx}dx$ \\
		$2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r} = \pi r^2 \frac{dP}{dx}dx \stackrel{\frac{dP}{dx} = \frac{\Delta P}l}
		\implies 2\eta\frac{\d v}{\d r} = r \frac{dP}{dx} \implies 2\eta dv = \frac{\Delta P}l\int_r^Rrdr = \frac{\Delta P}l\frac{R^2-r^2}2\\$
		$v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta l}(R^2-r^2)$. \\
	\item Теперь получим Поток вектора скорости через трубку тока (или объёмный расход жидкости): \\
		$Q_v = \int vdS = \int_0^R v(r)2\pi rdr = \frac{\pi R^4}{8\eta}\left(-{\frac{dP}{dx}}^{\left(=\frac{\Delta P}{l}\right)}\right) 
		= \frac{\pi R^4 (P_1-P_2)}{8\eta l}$
\end{itemize}


Билет 58. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса.
Парадокс Даламбера. Лобовое сопротивление при обтекании тел.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
	\item Ламинарное течение: жидкость движется слоями параллельно направлению течения, без перемещивания
	\item Турбулентное течение: частицы соверщают хаотичное движение.
	\item Число Рейндольса $Re = \frac{\rho v R}\eta$ Позволяет оценить ламинарность/турбулентность течения.
		Определяется как отношение $W_\text{кин.}\text{ к }W_\text{пот.}$
	\item Парадокс Даламбера: Пусть есть шар в потоке. Если пользоваться уравнением Бернулли, то получается, 
		что линии тока просто обтекают шар и на него не действуют никакие силы (из соображений симметрии).
	\item На самом деле $\exists F_{\text{лоб. сопр.}} = C_x(Re)\frac{\rho v^2}2S$, где 
		$C_x(Re)$ - зависимость коэффициента от числа Рейндольса
	\item $Re \ll 1$: Ламинарное; $Re \sim 10$: первая (2 вихря), вторая (вихревая дорожка Кармана, вихри отрываются) стадии неустойчивости;
		$Re > 100$: развитая турбулентность
\end{itemize}


Билет 59. Циркуляция скорости. Подъемная сила. Формула Жуковского. Эффект
Магнуса.
\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
	\item циркуляция скорости: $\Gamma = \oint_L\vec vd\vec l$
	\item Подъёмная сила: $dF = (P_\text{снизу} - P_\text{сверху})Ldl$. Через
		Ур-е бернулли: \\ $P_\text{Н}-P_\text{В} = \frac \rho 2 (v_\text{в} - v_\text{н})
		(v_\text{в}+v_\text{н}) \stackrel{v_\text{в}+v_\text{н} \approx 2v} \approx
		\rho v \Delta v; F = \int P_\text{Н} - P_\text{В}Ldl = \rho vL\oint{\Delta v}dl
		= \rho v L \Gamma$ \\
		Итак, формула жуковского: $\frac F L = \rho v \Gamma$
	\item Эффект Магнуса: в вязкой жидкости $\vec F \parallel [\vec \omega \times \vec v]$
\end{itemize}

\end{document}