path: root/2025math.tex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pifont}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[margin=0.4in]{geometry}
\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
\newcommand{\s}{\mathbb}
\newcommand{\e}{\exists}
\newcommand{\all}{\forall}
\newcommand{\ulim}{\mathop{\overline\lim}\limits}
\newcommand{\llim}{\mathop{\underline\lim}\limits}
\newcommand{\exclreg}[2]{\overset\circ\Omega_{#1}({#2})}
\newcommand{\mrx}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\newcommand{\system}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}
\newcommand{\reg}[2]{\Omega_{#1}({#2})}
\newcommand\eps\varepsilon
\newcommand\ph\varphi
\newcommand\dst\displaystyle
\newcommand\exclude\setminus
\newcommand\rab\underline
\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}}
\renewcommand{\d}{\partial}
\newcommand{\bbar}[1]{\overline{\overline{#1}}}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}}
\renewcommand*\contentsname{Содержание}
\setmainfont{FreeSans}
\graphicspath{ {../images} }
\hypersetup {
	colorlinks,
	linkcolor=blue,
}
% \everymath{\displaystyle}
% \DeclareMathOperator{\rotor}{rot}

\title {Экзамен по матеше, 2025, I семестр}
\author {\texttt{justanothercatgirl}}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\section{Числовые множества и последовательности}
\subsection{Определения} 

Ограниченное множество $A$: $\e c \in \s R, \all a \in A: |a| < c$
\\
Окресность: интервал, содержащий точку $(a,b) := \{x \in R | a < x < b\}$ 
\\
$\eps$-окресность: $(x-\eps, x+\eps)$
\\
Проколотая окресность: $\Omega_\eps(x) \exclude \{x\}$
\\
Предельная точка множества $p$: $\all \eps > 0 \; \e p_0 \in \s X: |p-p_0| < \eps$
\\
Верхняя грань $M$:\ $\all a \in \s A: a \leq M$
\\
Спермум: $(\rab S = \sup \s A) := (\all a \in \s A : a \leq S) \land (\forall \rab S' \leq \rab S \; \exists a' \in \s A : \rab S' \leq a')$
\\ Инфинум аналогично \\
Числовая последовательность: $f: \s N \implies \s X$. Обозначается $\ss{x_n}$
\\ Ограниченная, неограниченная последовательность аналогично множеству \\
Монотонная последовательность: $\all n \in \s N : x_{n} < x_{n+1}$
\\
Предел: $(A = \lim_{n\to\infty}\ss{x_n}) := (\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N : |x_n - A| < \eps)$
\\
Б.М: Аналогично пределу, но в конце $|x_n| < \eps$
\\
Б.Б: $\all A \e N \all n > N: A < |x_n|$ (для любого числа найдётся номер, после которого все члены больше числа)
\\
Фундаментальная: $\all \eps > 0 \e N \in \s N \; \all n, m > N: |x_n - x_m| < \eps$
\\
Подпоследовательность: $\ss{n_i}$ - возрастающая $\implies \ss{x_{n_i}}$ - подпоследовательность $\ss{x_j}$
\\
Предельная точка последовательности:
$(\all \reg \eps p \exists \; \infty x \in \ss{x_n}) \lor (\exists \ss{x_{n_i}} \to a)$ \\
Либо существует бесконечно много членов в любой окресности икса, либо сущ. подпоследоватлеьность, сходящаяся к $a$
\\
Верхний предел: $\displaystyle \rab S = \ulim_{n\to\infty} \ss{x_n} := \lim_{n\to\infty}\sup_{k \geq n}\ss{x_k}$
\\ Нижний предел $\llim_{x\to\infty} \ss{x_n}$ Аналогично

\subsection{Теоремы (без док-ва)}

Предел арифмет. опер: $\ss{x_n}, \ss{y_n}$ сходятся $\implies$ Предел суммы, разности и произведения равен сумме, разности и произведению пределов. 
Предел частного равен частному пределов, если \\
 $(\all n \in \s N \; y_n \neq 0) \land (\ss{y_n} \not \to 0)$ 
\\
О 3 послед. (2 полиц.): $(\ss{x_n}, \ss{z_n} \to a) \land (\forall n \in N \; x_n \leq y_n \leq z_n) \implies \ss{y_n} \to a$
\\
Вейштрассa (пред. монот. огр. посл-ти): $\displaystyle (\ss{x_n} \text{неубыв.} \land \text{огр. сверху}) \equiv 
\e \lim_{n\to\infty}\ss{x_n}=\sup_{n\in\s N}x_n$
\\
Коши-Кантора (Вложенные отрезки): $\ss{I_n} := I_1 \supset I_2 \supset \dots \supset I_k \supset \dots \implies 
\e c: \forall k\; c \in I_k$. Так же:
$\all \eps > 0 \exists I_k : |I_k| < \eps \implies \e! c: \all k \; c \in I_k$ (знаком модуля обозначается длина отрезка)
\\
Больцмана-Вейштрасса: $\exists \sup \ss{x_n} \implies \exists \ss{x_{k_i}}: \ss{x_{k_i}}\to a$ (если ограничена, есть сход. подпосл.)
\\
Критерий Коши: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

\subsection{Теоремы (с док-вом)}
\begin {enumerate}

\item Единственность предела: Пусть $\ss{a_n} \to b_1, b_2, b_2>b_1$. По определению: \\
\[
\begin{aligned}
	\all \eps > 0 &\e N_1 \in \s N,\;\all n > N_1 &: |a_n - b_1| < \eps \\
	\all \eps > 0 &\e N_2 \in \s N,\;\all n > N_2 &: |a_n - b_2| < \eps \\
\end{aligned} \implies \left\{\begin{aligned}
	-\eps &< a_n - b_1 &< \eps \\
	-\eps &< a_n - b_2 &< \eps \\
\end{aligned}\right. \implies
\]
\centerline{[ Возьмём $N = \max {N_1, N_2};\;\varepsilon = \frac{b_2-b_1}2 > 0$ ]}
\[ \implies
\left\{\begin{aligned}
	a_n - b_1 &< \frac{b_2-b_1}2 \\
	a_n - b_2 &> \frac{b_1-b_2}2
\end{aligned}\right. \implies \system{
	a_n &< \frac{b_1 + b_2}2 \\ 
	a_n &> \frac{b_1 + b_2}2 \\ 
}
\]
Что приводит к противоречию, значит, предел единственный


\item сходящаяся последовательность ограничена: Пусть $\ss{a_n} \rightarrow a$. По определению: \[
	\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N: |a - a_n| < \eps
\]
Выберем $\eps,\,N$. Тогда $x_n \overset{n > N}> |a| + \eps$. Возмём $M > \max\{|a_1|\dots|a_n|, |a|+\eps\}$. 
Получаем, что \[\all n : |a_n| < M \]


\item Арифметические операции: \\
Можно легко доказать, что $\ss{x_n} \to a \implies \exists \ss{a_n} \to 0: \all n \quad(x_n = a_n + a)$ \\
Аналогично можно доказать обратное 

Пусть $\ss{x_n} \to x_0, \ss{y_n} \to y_0$, тогда $\e \ss{\alpha_n}, \ss{\beta_n} : \forall n\quad x_n = x_0 + \alpha_n;\; y_n = y_0 + \beta_n$

Тогда \begin{itemize} 
	\item $x_n \pm y_n = x_0 \pm y_0 + \alpha_n + \beta_n = x_0 \pm y_0 + \gamma_n$ (По теореме о сумме бесконечно малых). Отсюда по обратной лемме выше 
$\ss{x_n \pm y_n} \to x_0 \pm y_0$ 
	\item $x_n\cdot y_n = x_0y_0 + x_0\beta_n + y_0\alpha_n + \alpha_n\beta_n = x_0y_0 
	+ \alpha_n' + \beta_n' + \gamma_n' = x_0y_0 + \zeta_n$. по той же лемме доказано. 
	(пользовались теореме о произведении 1. б.м. на огр; 2. б.м. на б.м.)
	\item Докажем $\lim\ss{\frac 1 {y_n}} = \frac 1{y_0}$ (по 2 пункту этого достаточно). 
	запишем определение: \[\all \eps > 0 \e N, \all n > N : |y_n - y_0| < y_0M\eps\]
	\[ y_n < M \implies y_ny_0 \leq y_0M \text{ (по огр. сход. послед-сти) } \implies \frac{1}{y_ny_0}|y_n - y_0| =
	\left|\frac 1 {y_0} - \frac 1 {y_n}\right| < \frac{y_0M\eps}{y_0M} < \eps \]
	Получаем определение: $\all \eps > 0 \e N \in s N, \all n > N : \left|\frac{1}{y_n} - \frac{1}{y_0}\right| < \eps$,
	то есть доказано \\
	(ну типа $\ss{\frac{x_n}{y_n}} = \ss{\frac{1}{y_n}}\ss{x_n} \to \frac{1}{y_0}x_0 = \frac{x_0}{y_0}$)
\end{itemize}


\item Два полицейских: Раскрываем модули из определения 
\[
\system{
	|x_n - c| &< \eps \\
	|z_n - c| &< \eps \\
} \implies \system {
	c-\eps &< x_n \\
	z_n &< c+\eps \\
} \implies c-\eps < x_n \leq y_n \leq z_n < c + \eps \implies |y_n - c| < \eps
\] откуда получаем определение предела для $\ss{y_0}$


\item Предел подпосл. Сходящейся посл. \\
$\all \eps > 0 \e N \in \s N , \all k > N : |x_k - a| < \eps \\
\forall k \; n_k > k \implies \all \eps > 0 \e N \in \s N , \all n_k > N : |x_{n_k} - a| < \eps$


\item неуб. огр. сверху имеет предел \\
Из ограниченности $\e s = \sup \ss{x_n} \overset{def}: \all \eps > 0 \e N: s - \eps \leq x_N < s (+\eps);\;
\all n > N : x_n > x_N \implies \\ \implies \all \eps > 0 \e N \in N, \all n > N: |x_n - s| < \eps$


\item о вложенных отрезках. Возьмём последовательность начал и концов: $\ss{a_n} ,\ss{b_n}$.
Обе ограничены $(\all n \in \s N a_n,b_n \in [a_1, b_1], \all n\; a_{n+1} > a_n, b_{n+1} < b_n) \implies
\e \tilde\alpha = \sup \ss{a_n} \land \e \tilde\beta = \inf \ss{b_n}\quad (\tilde\alpha \leq \tilde\beta)$ \\
Пусть $c \in [\tilde\alpha,\tilde\beta];\; \all n \in \s N\; a_n \leq \tilde\alpha \leq c \leq \tilde\beta \leq b_n \implies 
c \in [a_n, b_n]$ \\
Пункт b: $\lim_{x\to\infty} a_n = \lim_{x\to\infty} b_n \land \all n \in N\; a_n \leq c \leq b_n \implies \exists!c$ (по 2 полицейским)


\item Больцано-Вейштрасса.
$a:=\inf\ss{x_n},b:=\sup\ss{x_n}$. пусть $x_1$ - первый элемент подпосл. Разобъём $[a,b]$ пополам, выберем ту половину,
где бесконечно много членов $\ss{x_n}$, оттуда выберем $x_2$. По аксиоме выбора составляем бесконечную посл-ть $\ss{x_{k_i}}$,
повторяя это действие. $\all i \in \s N \; x_{k_i} \in [a_i, b_i] \supset [a_{i+1}, b_{i+1}] \land |b_i-a_i| 
= \frac{b-a}{2^{i-1}}$. Из теоремы о вложенных отрезках: $\ss{b_i-a_i}\to 0 \implies \e!c: \ss{x_{k_i}}\to c$.
Типа доказано.


\item что фунд. Посл-ть ограничена. \\
По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N \implies 
x_N - \eps < x_n < x_N + \eps.
\]\[  
	\exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. 
\] Что формирует определение ограниченной последовательности


\newpage
\item Критерий коши
\begin{itemize}
	\item фундаментальность $\implies$ сходимость (достаточность): \\
	Из фундаментальности следует, что $\e N, \all n > N : x_N - \frac \eps 3 < x_n < x_N + \frac \eps 3$; 
	Положим $a_n := \inf_{k \geq n}\ss{x_k}; b_n := \sup_{k \geq n}\ss{x_k}$. Т.к. при $n'>n\;\sup$ и $\inf$
	берутся на меньшем множестве, $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$, и имеется последовательность 
	вложенных отрезков, и у них имеется общая точка \\
	$\e A, \all n: \; a_n < A < b_n \\ \system{ 
		X_N - \frac \eps 3 &< x_n \\
		X_N + \frac \eps 3 &> x_n  
	} \overset{\text{из огранич.}}\implies \system {
		X_N - \frac \eps 3 &\leq \inf_{k \geq n}\ss{x_k} = a_n\\
		X_N + \frac \eps 3 &\geq \sup_{k \geq n}\ss{x_k} = b_n \\
	} \implies x_N - \frac \eps 3 < a_n < A < b_n \leq x_N + \frac \eps 3 
	\implies |x_N - A| \leq \frac \eps 3.\quad|x_n - A| = |x_n - x_N + x_N - A| 
	\leq |x_n - x_N| + |x_N - A| \leq 2\frac \eps 3 \leq \eps$ \\
	Окончательно: $\all \eps >0 \e N \in \s N, \all n > N: |x_n - A| \leq \eps$
	\item сходимость $\implies$ фундаментальность (необходимость): \\
	Из определения сходимости $\e n, m > N(\eps): \system{
		|x_m - A| < \frac \eps 2 \\
		|x_n - A| < \frac \eps 2
	};\quad |x_n - x_m| = |x_n - A - x_m + A| < |x_n - A| + |A - x_m| < 2\frac \eps 2 = \eps$ \\
	Получаем $\all \eps > 0 \e N(\eps) \in \s N, \all n, m > N : |x_n - x_m| < \eps$
\end{itemize}


\item ограниченная посл-ть имеет верхний и нижний пределы:\\
Рассмотрим множество $\{x \in \s R | \text{правее x конечное число или нет членов} \ss{x_n}\}$.
это множество ограничено снизу, в качестве нижней грани можно взять любое число $m < \inf \ss{x_n}$. 
Тогда $\e\inf\ss{x} = \rab x$. Докажем, что $\rab x$ - предельная точка $\ss{x_n}$ и 
$\rab x = \sup\ss{\sup{x_n}} \equiv \rab x = \ulim \ss{x_n}$.

1. по определению $\all \eps > 0, \all (\rab x - \eps) \not \in \ss{x} \implies$ правее $(x-\eps)$
 б.много элементов $\ss{x_n}$. между $\rab x$ и $\rab x + \eps$ конечное число, тогда между 
$(\rab x-\eps, \rab x + \eps)$ б.м. элементов и это предельная точка

2. Мы определили, что правее $\rab x + \eps$ конечное число членов $\ss{x_n}$. Тогда
в $\eps$-окресности $\rrab x > \rab x$ не может быть б.м. членов. Доказано.

Нижний предел доказывается аналогично.


\item У огр. посл-ти $\e$ хотя бы 1 предельная точка

аналогично прошлому


\item эквив. Двух опред. предельной точки
\begin{itemize}
	\item Пусть $\lim_{x\to\infty} \ss{x_{k_n}} = a \implies \all \eps > 0 \e N, \all n > N : |x_{k_n} - a| < \eps$. 
	Тогда в любой $\eps$-окресности лежит $\infty$ эементов (все, начиная с $N$). Поскольку Элементы
	$\ss{x_{k_n}}$ так же элементы $\ss{x_n}$, то в окресности точки $a$ лежит $\infty$ элементов
	\item Пусть в окресности $a$ лежит $\infty$ элементов $\ss{x_n}$. рассмотрим $\eps$-окресности 
	$\left\{1, \frac 1 2, \frac 1 3, \dots , \frac 1 n\right\}$. в первой выберем $k_1$, во второй - $k_2$,
	при этом $k_2 > k_1$, по аксиоме выбора продолжая этот процесс получаем бесконечную ограниченную монотонно возрастающую 
	последовательность ($\all n: (k_{n+1} > k_n \land k_n < a + \frac 1 n)$), которая является
	подпоследовательностью $\ss{x_n}$
\end{itemize}


\item Из неогр. Посл-ти можно выделить б.б. подпоследовательность

Заметим, что если у б.б. посл-ти "убрать" конечное число элементов, 
она останется б.б. (иначе это противоречило бы определению б.б.)

т.к. $\ss{x_n}$ - б.б., то $\e n_0: |x_{n_0} := k_0| > 1$. 
Рассмотрим $\ss{x_n^1} = {x_{n_0}, x_{n_0 + 1}, \dots}$. 
Из $\ss{x_n^1}$ выберем $k_1$. По аксиоме выбора, если мы 
продолжим этот процесс, получим бесконечно большую (очевидно)
последовательность. $\ss{k_n}$, которая является подпосл. $\ss{x_n}$

\end{enumerate}


\subsection{Задачи}
\begin{enumerate}
\item Неравенство Бернулли $\left(1+x\right)^n \geq 1 + nx, x \geq -1, n \in \s N$. \\

$n = 1: 1 + x \geq 1 + x$ \\
$(1+x)^n \geq 1 + nx \implies (1 + x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + x(n+1) + nx^2
\leq (1+x)^{n+1} \implies 1 + (n+1)x \leq (1+x)^{n+1}$ \\
По индукции, доказано

\item Отрицание к определению фунд. посл-ти: \\
Само определение: $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n, m > N: |x_n - x_m| < \eps$\\
Отрицание: $\e \eps > 0, \all N \in \s N, \e n, m > N: |x_n - x_m| > \eps$

\end{enumerate}

\subsection{Сложные задачи}
:) потом как-нибудь..


\section{Предел и непрерывность функции}
\subsection{Определения}

Ограниченная функция: $\exists c \in \s R \; \all x \in \s X: |f(x)| < c$
\\
Грань (верхняя) $:= M: \all x \in \s X\; f(x) \leq M$
\\
Точная Грань (верхняя) $:=M : \system{
	&\all x \in \s X; f(x) \leq M \\
	&\all \eps > 0 \e x_0 \in \s X: M-\eps < f(x_0) \leq M\\
}$
\\
Монотонность: $(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2), \dots)$
\\
$\displaystyle \lim_{x\to{}x_0}f(x) = b$ (Коши): $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_0 \in \s X (0 < |x - x_0| < \delta \implies |b - f(x_0)| < \eps)$ 
\\
$\displaystyle \lim_{x\to x_0 + 0}f(x): \dots (x_0 < x < x_0 + \delta \implies \dots)$
\\
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x): \dots (x > \delta \implies \dots)$
\\
$\displaystyle \lim_{x\to a} = +\infty: \dots (\dots \implies f(x) > \eps)$
\\
$\displaystyle (\lim_{x\to+\infty} = +\infty) := (\all \eps > 0 \e \delta > 0 \all x \in \s X (x > \delta \implies f(x) > \eps))$
\\
$\displaystyle (\lim_{x\to a} = 0) := (\all \eps > 0 \e \delta > 0 \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x)| < \eps))$
\\
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = b$ (Гейне): $\all \ss{x_n}: ((\all n: x_n \neq x_0)\land(\ss{x_n}\to x_0) \implies {f(x_n)} \to b)$
\\ По гейне буквально все определения одинаковые, даже думать не надо... \\
Непрерывность в точке $a$: $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X (|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \eps)$
\\
Непрерывность на промежутке: непрерывна $\all x \in [\text{промежуток}]$ 
\\
Обратная функция: $\all x \in \s X: f(f^{-1}(x)) = x$\\
$f: \s X \to \s Y ,
(\all x_1,x_2 \in \s X, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2)
\land (\all y \in \s Y \e x \in \s X: f(x) = y)
\overset{f \text{ bijective}}\implies \e f^{-1} : \s Y \to \s X$
\\
Точка разрыва: отрицание непрерывности 
\\
Разрыв 0 (устранимый): $a \in \s X$ - т.разрыва, если $\exists \text{ непр. } \tilde f :
\all x \in \s X \exclude \ss a: f(x) = \tilde f(x)$
\\
Разрыв 1: $\displaystyle 
(\lim_{x\to a+0}f(x) \neq f(a)) \lor (\lim_{x\to a-0}f(x) \neq f(a))$
\\
Разрыв 2: $\displaystyle
(\not \e \lim_{x\to a+0}f(x)) \lor (\not \e \lim_{x\to a-0}f(x))$

\newpage
\subsection{Теоремы (без док-ва)}

Критерий коши сущ. педела: \\
$\begin{aligned}
&x \to a&: &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x_1, x_2 \in \exclreg \delta a &\implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps) \\
&x \to \infty&: &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x_1, x_2 > \delta &\implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps)
\end{aligned}$
\\
Об односторонних пределах: 
$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x) = \lim_{x\to a-0}f(x) \Longleftrightarrow \e \lim_{x\to a}f(x)$
\\
О предельном переходе в неравенство: \\ $\displaystyle
a := \lim_{x \to x_0}f(x),\;b := \lim_{x \to x_0}g(x), \all x \in \exclreg \eps {x_0} 
(f(x) < g(x) \implies a < b)$
\\
О единственности предел: ну...
\\
О пределе монотонной функции: Если $f : \s X$ ограничена и монотонно неубывает на $(a,b) \in \s X$, \\
то $\displaystyle \e \lim_{x\to a+0}f(x) = \inf_{(a,b)}f(x), \lim_{x\to b-0}f(x) = \sup_{(a,b)}f(x)$
\\ 
1 Зам. предел: $\dst \lim_{x \to 0} \frac{\sin x} x = 1$
\\
2 Зам. предел: $\dst \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac 1 x\right)^x = e \approx 2.718281828459045\dots$
\\
Непрерывность: $f, g$ непр. в $a \implies f\pm g;\; f\cdot g;\; (g(a) \neq 0) \dst \frac f g$ непрерывны
\\
Сложной ф-ии: $f: \s X \to \s Y, \ph: \s T \to \s E \subseteq \s X,
\ph \text{ непр. в } a, f \text{ непр. в } \ph(a) \implies f\circ\ph $ непр. в $a$
\\
Обр. Ф-ии: $f : \s X \to \s Y$ непр. и строго монот. на $\s X = [a,b] \implies \system {
	&\s Y = [f(a),f(b)] \\
	&\e!f^{-1}: \s Y \to \s X \\
	&f^{-1} \text{ ("так же" монот.) и непрер. на } \s Y
}$

\subsection{Теоремы (с док-вом)}
\begin{enumerate}
\item О сумме бесконечно малых: $f, g$ б.м. в $a$
$\system{
	&\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 1)	\\
	&\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 1)	\\
}\\
\delta := \min\ss{\delta', \delta''},\quad |f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \eps
$, что образовывет определение б.м. $f$-ии в $a$


\item О произведении на б.м.: $\lim_{x\to a}f(x) = 0, g(x)$ - ограничена\\
$\system{
	&\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)| < \frac \eps c) \\
	&\e c, \all x \in \exclreg \delta a: |g(x)| \leq c
} \quad\implies |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| \leq c \frac \eps c = \eps \implies \\
\implies \all \eps > 0 \e \delta < 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)g(x)| < \eps)$


\item Об арифм. опер.: абсолютно аналогично последовательностям


\end{enumerate}
\section{Производные и дифференциалы}
\section{Интегралы}
\section{Теоремы о диф. ф-ях}
\section{Построение Графиков}

$\texttt{curl https://trust-me-bro.com | sudo bash}$

\end{document} \\