1 files changed, 34 insertions, 12 deletions
diff --git a/2025mech.tex b/2025mech.tex
index 8e6b580..4f34b3d 100644
--- a/2025mech.tex
+++ b/2025mech.tex
@@ -53,18 +53,40 @@
 \end{enumerate}
 
 
-Билет 10. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
-Консервативные силы. Потенциальная энергия.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
-
-
-Билет 11. Консервативные силы и консервативные системы. Связь консервативных
-сил с потенциальной энергией. Законы изменения и сохранения
-механической энергии.
-\begin{enumerate}
-
+Билет 10-11. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
+Консервативные силы и системы. Потенциальная энергия. (10). 
+Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон изменения и сохранения 
+механической энергии (11)
+\begin{enumerate}
+	\item $\delta A = \vec Fd\vec r = Fdr\cos\alpha;\;A=\int_1^2\vec F d \vec r \\
+	\delta A = m\frac{d\vec v}{dt}dr = d\left(\frac{mv^2}2\right) \\
+	A = \int_1^2 \vec F d\vec r = \int_1^2 d\left(\frac{mv^2}2\right) = 
+	\frac{mv^2_2}2 - \frac{mv^2_1}2 = W_{k_2} - W_{k_1}$
+	\item Консервативные силы: Работа не зависит от пути, определяется только начальным и конечным
+	положением. Консервативные - Работа зависит от формы пути \\
+	Примеры консерв.: Поле тяжести земли; неконсерв.: сила трения, реактивная сила
+	\item [пример] Работа силы упругости: $A = \int_1^2 (-kx)dx - \frac k 2 (x_2^2 - x_1^2)$
+	\item Потенциальная энегрия: $!\exists$ в консвервативных силах. \\
+	$dW_p = -dA;\; A = \int_1^2 \vec F d\vec r = -(U_2 - U_1) = U_1 - U_2$. 
+	Поскольку работа зависит только от начального и конечного положения, поэтому 0
+	определяется нормировкой 
+	\item Некоторые потенциальные формулы: $\left\{\begin{aligned} 
+		U(x) &= \frac{kx^2}2 &; U(0) = 0 \\ 
+		U(x) &= -G \frac{m_1 m_2}r &; U(\infty) = 0 \\
+		U(h) &= mgh &; U(0) = 0 \\
+		U(r) &= \frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}r &; U(\infty) = 0
+	\end{aligned}\right.$
+	\item Набла и градиент: $dA = \vec F d \vec r = -dU = 
+	(F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k)(dx\vec i + dy\vec j + dz\vec k) = 
+	-\left(\frac{\partial U}{dx}dx + \frac{\partial U}{dy}dy + \frac{\partial U}{dz}dz\right) \\
+	\vec F = - \nabla U [= -grad U]$ - такое поле называется потенциальным. Стационарное поле: 
+	$F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy +\frac{\partial U}{\partial z}dz$
+	\item Полная механическая энергия: В поле консерв: $A_{full} = A + A_{ext},\;A=\Delta W_p 
+	\implies \Delta W_k = \Delta W_p + A_{ext}\quad(1)$ \\ 
+	$W = W_k + W_p$, $W_2 - W_1 = A_{ext} = $ работа внешних сил\quad $(2)$ \\
+	$(1), (2) \implies \Delta W = A_{ext}$ - закон изменения механической энергии \\
+	Если сторонние силы не совершают работу или отсуствуют, то полная механическая энергия в поле
+	консервативных сил не изменяется $E = const,\;\frac{dE}{dt} = 0$
 \end{enumerate}