diff options
Diffstat (limited to '2025math.tex')
| -rw-r--r-- | 2025math.tex | 347 |
1 files changed, 328 insertions, 19 deletions
diff --git a/2025math.tex b/2025math.tex index 3dcc7da..23ae3b5 100644 --- a/2025math.tex +++ b/2025math.tex @@ -10,26 +10,33 @@ \usepackage[margin=0.4in]{geometry} \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% -\newcommand{\s}{\mathbb} -\newcommand{\e}{\exists} -\newcommand{\all}{\forall} +\newcommand\s\mathbb +\newcommand\e\exists +\newcommand\all\forall \newcommand{\ulim}{\mathop{\overline\lim}\limits} \newcommand{\llim}{\mathop{\underline\lim}\limits} \newcommand{\exclreg}[2]{\overset\circ\Omega_{#1}({#2})} \newcommand{\mrx}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\system}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.} +\newcommand{\at}[2]{\left.{#1}\right|_{#2}} +\newcommand{\from}[3]{\left.{#1}\right|_{#2}^{#3}} \newcommand{\reg}[2]{\Omega_{#1}({#2})} +\newcommand\dst\displaystyle +\newcommand{\dlim}[1]{\lim_{\Delta #1 \to 0}} \newcommand\eps\varepsilon +\newcommand\D\Delta +\newcommand\Dx{\Delta x} +\newcommand\Dy{\Delta y} \newcommand\ph\varphi -\newcommand\dst\displaystyle +\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand\exclude\setminus \newcommand\rab\underline -\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}} -\renewcommand{\d}{\partial} \newcommand{\bbar}[1]{\overline{\overline{#1}}} +\newcommand\ntab{\\\hspace*{1cm}} \renewcommand{\bar}{\overline} -\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}} +\renewcommand{\d}{\partial} \renewcommand*\contentsname{Содержание} +\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}} \setmainfont{FreeSans} \graphicspath{ {../images} } \hypersetup { @@ -37,7 +44,7 @@ linkcolor=blue, } % \everymath{\displaystyle} -% \DeclareMathOperator{\rotor}{rot} +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \title {Экзамен по матеше, 2025, I семестр} \author {\texttt{justanothercatgirl}} @@ -197,10 +204,10 @@ $a:=\inf\ss{x_n},b:=\sup\ss{x_n}$. пусть $x_1$ - первый элемен \item что фунд. Посл-ть ограничена. \\ -По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N \implies -x_N - \eps < x_n < x_N + \eps. +По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N+1 \implies +x_{N+1} - \eps < x_n < x_{N+1} + \eps. \]\[ - \exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. + \exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N, x_{N+1} + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. \] Что формирует определение ограниченной последовательности @@ -294,10 +301,6 @@ $(1+x)^n \geq 1 + nx \implies (1 + x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 \end{enumerate} -\subsection{Сложные задачи} -:) потом как-нибудь.. - - \section{Предел и непрерывность функции} \subsection{Определения} @@ -387,8 +390,8 @@ a := \lim_{x \to x_0}f(x),\;b := \lim_{x \to x_0}g(x), \all x \in \exclreg \eps \begin{enumerate} \item О сумме бесконечно малых: $f, g$ б.м. в $a$ $\system{ - &\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 1) \\ - &\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 1) \\ + &\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 2) \\ + &\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 2) \\ }\\ \delta := \min\ss{\delta', \delta''},\quad |f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \eps $, что образовывет определение б.м. $f$-ии в $a$ @@ -402,15 +405,321 @@ $\system{ \implies \all \eps > 0 \e \delta < 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)g(x)| < \eps)$ -\item Об арифм. опер.: абсолютно аналогично последовательностям +\item 1-ый предельный переход ($f(x) \geq c \implies \lim f(x) \geq c$) \\ +пойдём от противного: пусть $\lim := b < c: \\ +\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X \left(0 < |x - a| < \delta \implies +\system { + &|f(x) - b| < \eps = \frac{c-b}2 > 0\\ + &f(x) \geq c +}\right) \implies \system { + &-\eps + b < f(x) < \eps + b \\ + &f(x) \geq c +} \implies \\ +\implies c < b + \eps = \frac{b+c}2 \implies b > c +$ - противоречие. Тогда $b \geq c$ + + +\item Об арифм. опер., о пределе монот. ф-ии: абсолютно аналогично последовательностям + + +\item О равносильности Коши и Гейне +\begin{itemize} + \item Коши $\implies$ Гейне: + $\system { + &\all \eps > 0 \e \delta > 0, (x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \in \reg \eps b) \\ + &\all \eps'( = \delta) > 0 \e N \in \s N, \all n > N : x_n \in \reg {\eps'} a, x_n \neq a + } \implies f(x_n) \in \reg \eps b$ + \item $\lnot$ (Коши $\implies \lnot$ Гейне) $\Longleftrightarrow$ (Гейне $\implies$ Коши): \\ + По условию $\e \eps > 0, \all \delta =: \frac 1 n > 0 \e x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \not \in \reg \eps b)$. + Составим посл-ть (по аксиоме выбора) из этих самых $x$. при этом из $x_n \in \exclreg {\frac 1 n} a \implies + a - \frac 1 n < x_n < a + \frac 1 n \implies \ss{x_n} \to a$ (по т-ме о 3 посл.), при этом $f(x_n) \not \to b$. + По отрицанию Гейне $\exists \ss{x_n}: (\ss{x_n} \to a \implies \ss{f(x_n)} \not \to b)$, что мы и получили +\end{itemize} + + +\item связь левых и правых пределов с пределом в точке \\ +Пусть $\lim_{x\to a}f(x) = b$. Зафиксируем $\eps$ \\ +$\e \exclreg \delta a \subset \s Y \all x \left\{ + (x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \in \reg \eps b) + \Longleftrightarrow + (x \in \exclreg {\delta^+} a \cup \exclreg {\delta^-} a \implies f(x) \in \reg \eps b) +\right\} \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow +\exists \exclreg \delta a \subset \s Y \left\{ + (x \in \exclreg {\delta_+} a \implies f(x) \in \reg \eps b) + \land + (x \in \exclreg {\delta_-} a \implies f(x) \in \reg \eps b) +\right\} \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \lim_{x \to a + 0}f(x) = \lim_{x \to a-0}f(x) = b$ + + +\item Критерий Коши +\begin{itemize} + \item $\e \lim \implies $ критерий Коши \\ + По определению предела: + $\all \eps > 0 \delta > 0, \all x', x'' \in \exclreg \delta a (|f(x') - b| < \frac \eps 2 \land |f(x'') - b| < \frac \eps 2 + \implies |f(x') - f(x'')| \leq |f(x')| + |-f(x'')| = |f(x') - b| + |f(x'') - b| < \eps)$ + + \item критерий Коши $\implies \e \lim$ \\ + Возьмём последовательность гейне $\ss{x_n} \to a$. Докажем, что $\ss{f(x_n)}$ фунд-на: \\ + $\system { + &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps \\ + &\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n \left(n > N \implies |x_n - a| < \eps \implies x_n \in \reg \delta a \cap \s X\right) + } \implies \e \all n, m \in \s N \\(n, m > N \implies x_n, x_m \in \exclreg\delta a \implies |f(x_n) - f(x_m)| < \eps) \implies + \ss{f(x_n)}$ - фундаментальная $\implies \e \lim_{x\to a}\ss{f(x_n)} =: b$ \\ + Теперь докажем, что $b$ - предел и самой функции: \\ + $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1,x_2 \in \s X (x_1,x_2 \in \exclreg\delta a \implies |f(x_1) - f(x_2)| < \frac \eps 2);\; + \exists N_1, \all n > N_1 : x_n \in \reg\delta a \\ + \exists N_2, \all n > N_2 f(x_n) \in \reg {\frac \eps 2} b,\quad N:=\max\ss{N_1, N_2} \implies \\ + \implies \all n \in \s N \all x \in \exclreg \delta a (n > N \implies |f(x)-b| \leq |f(x) - f(x_n)| + |f(x_n) - b| < \eps)$ +\end{itemize} + + +\item Теорема о непрерывности следует напрямую из теоремы о пределе арифм. опер. + + +\item О предельном переходе в неравенство. Предположим, что $b < c$: \\ +$\system { + &\all \eps > 0 \e \delta_1 > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg {\delta_1} a \implies |f(x) - b| < \eps) \\ + &\all \eps > 0 \e \delta_2 > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg {\delta_2} a \implies |g(x) - c| < \eps) \\ + &\all x \in \exclreg {\delta := \max\ss{\delta_1, \delta_2}} a: f(x) > g(x) +},\quad \text{пусть } \eps = \frac{c-b}2, \system { + -\eps + b &< f(x) < b + \eps \\ + -\eps + c &< g(x) < c + \eps +} \implies \\ \implies \system { + &f(x) < \frac{b+c}2\\ + &g(x) > \frac{b+c}2 +} \implies f(x) < g(x)$, что приводит к противоречию, а значит, $b > c$ + +\item О непрерывности сложной функции \\ +$\system { + &\exists \delta': \all x \in \exclreg {\delta'} b: f(x) \in \reg{\eps'}{f(b)} \\ + &\exists \delta: \all t \in \exclreg {\delta} a: \ph(t) \in \reg {\eps := \delta'} {\ph(a)=:b}\\ +} \implies \all t \in \exclreg \delta a: f(\ph(t)) \in \reg{\eps'}(f(\ph(a))) \equiv \\ +\equiv \lim_{t\to a} f(\ph(t)) = f(\ph(a))$ + + +\item О прохождении непр. на пром. ф-ии через $\all$ промеж. знач. \\ +Докажем утверждение о прохождлении ф-ии черещ $0$: \\ +Пусть $\s X:= \{x \in [a,b] \;|\; f(x) < 0 \}$ - ограничено $\implies \e \sup \s X =: c$ \\ +\begin{enumerate} + \item Предположим, $f(c) < 0$. Тогда $\e \reg {1} c: \all x \in \reg {1} c \; f(x) < 0\\ + x_1 \in \reg {1+} c \implies f(x_1) < 0 \implies x_1 \in \s X, x_1 > c : $ противоречие + $\implies f(c) \geq 0$ + \item Предплолжим, $f(c) > 0$. Тогда $\e \reg {2} c: \all x \in \reg {2} c\; f(x) > 0 \\ + \tilde c \in \reg {2-} c \implies \all x \in [\tilde c, c]\; f(x) > 0 \\ + c = \sup \s X \implies \all \tilde c < c \e x \in \s X: \tilde c < x \implies f(x) < 0$ + - противоречие, значит, $f(c) \leq 0$ +\end{enumerate} +Из этого получаем, что $f(c) = 0$. + +Теперь докажем для любого числа: +$f$ проходит через $c$. рассмотрим $g := f - c$, тогда $g$ должна проходить через $0$ в точке $c'$: \\ +$g(c') = 0 \implies f = g + c = c$ + +\item Теорема об обратной функции $f : \s X := [a,b] \to \s Y$ +\begin{enumerate} + \item $\s Y = [f(a), f(b)]: \all x \in \s X\; a \leq x \leq b \implies f(a) \leq f(x) \leq f(b). \implies f(\s X) \subseteq \s Y \\ + \all y \in \s Y \e x \in \s X: f(x) = y \implies \s Y \supseteq f(\s X) \\ + f(\s X) = \s Y$ - сюръективность + \item $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2): x_1 \lessgtr x_2 \implies f(x_1) \lessgtr f(x_2) \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ + - инъективность + \item $\all y_1, y_2 (y_1 > y_2 \implies f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)):$ пойдём от обратного\\ + $y_1 > y_2 \land f^{-1}(y_1) \leq f^{-1}(y_2) \Longleftrightarrow + y_1 > y_2 \land f(f^{-1}(y_1)) \leq f(f^{-1}(y_2)) \equiv y_1 \leq y_2 + $ - противоречие, тогда обратное верно, тогда $f^{-1}$ строго монотонна + \item $f^{-1}$ непрерывна \\ + $y_0 \in (f(a), f(b)), f(a) < y_0 < f(b), f^{-1} \text { возрастает } \implies a < x_0 < y_0;\; + \epsilon: \reg \eps x_0 \subsetneq [a,b] \\ + f(x_0 - \eps) =: y_1 \leq f(x_0) \leq f(x_0 + \eps) =: y_2 \implies x_0 -\eps \leq f^{-1}(y_0) \leq x_0 + \eps \\ + \all y \in (y_1, y_2) : f^{-1}(y) \in (x_0 - \eps, x_0 + \eps) = \reg\eps {x_0} \\ + \delta: (y_1, y_2) \supseteq \exclreg\delta y_0 \\ + \all \eps > 0 \e \delta > 0 \all y \in \s Y (y \in \exclreg \delta {y_0} \implies f^{-1}(y_0) \in \reg \eps {x_0})$ +\end{enumerate} + +\item 1 зам. предел: +$|\sin x| < |x| < |\tan x| \implies 1 < \frac{|x|}{|\sin x|} < \frac 1 {|\cos x|} +\implies 1 > \frac{\sin x}x > \cos x$. \\ +По т-ме о 2 полицейских $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1$ + +\item 2 зам. предел: +$[x] \leq x \leq [x] + 1 \\ +\frac 1 {[x]} \geq \frac 1 x \geq \frac 1 {[x]+1} \\ +1 + \frac 1 {[x]} \geq 1 + \frac 1 x \geq 1 + \frac 1 {[x]+1} \\ +\left(1 + \frac 1 {[x]}\right)^{[x+1]} \geq \left(1 + \frac 1 x\right)^x \geq \left(1 + \frac 1 {[x]+1}\right)^{[x]} \\ +\left(1 + \frac 1 {[x]}\right)^{[x]}\left(1 + \frac 1 {[x]}\right) \geq + \left(1 + \frac 1 x\right)^x \geq + \left(1 + \frac 1 {[x+1]}\right)^{[x+1]}\cdot\left(1 + \frac 1 {[x+1]}\right)^{-1} \\ +\left[\text{пользуемся доказанным пределом последовательнсти}\right] e\left(1 + \frac{1}{[x]}\right) \geq \left(1+\frac 1 x\right)^x \geq e\left(\frac 1 {1 + \frac{1}{[x+1]}}\right);\hspace{1cm} +$ по т-ме о 2 пол-их: $\lim_{x\to+\infty}\left(1 + \frac 1 x\right)^x = e$ + +Для случая $x \to -\infty$ заменяем $t=-x$ и делаем преобразования, приводим к такому же виду, как в прошлом пункте + +ДОКАЗАНО!!! \end{enumerate} + + \section{Производные и дифференциалы} + +\subsection{Определения} + +Производная: $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ +\\ +Левая: $x\to a-0$ +\\ +Дифференцируемая ф-я: $\Delta y = A\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x = A\Delta x + \bar o(\Delta x)$ +\\ +Касательная: прямая, проходящая через $(x_0, f(x_0))$ и имеющая угловой коэффициент $f'(x_0)$ +\\\hspace*{1cm} ИЛИ: $\lim$ положение прямой, проходящей через точки +$\ss{x, f(x)}, \ss{x+\Delta x, f(x + \Delta x)}$ при $\Delta x \to 0$ +\\\hspace*{1cm} Уравнение касательной: $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$ +\\ +Дифференциал: $dy = f'(x)\Delta x = A\Delta x$ - "основная" составляющая приращения $\Delta y$ +из определения диф. ф-ии +\\ +Производная $n$-ого порядка: (по индукции) $f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'$ +\\ +$n$ раз дифференц.-ая ф-ия: если $\e f^{(n)}(x) \implies$ ф-я дифф-ма $n$ раз +\\ +Если множество $n$-ых производных функции индуктивно, то ф-я бесконечно дифф-ма +\\ \hspace*{1cm} Индуктивное множество: $1 \in \s X \land \all x \in \s X \implies (x+1) \in \s X$ +\\ +$n$-ый дифференциал: $\delta(dy) = \delta[f'(x)dx]$ при $\delta x = dx$ называется 2-ым дифф-ом и обозначается $d^2y$ +\\ \hspace*{1cm} по индукции $\delta(d^{n-1}y)|_{\delta x=dx} = d^ny$ +\\ \hspace*{1cm} $\delta(dy) = \delta(f'(x)dx) = \delta(f'(x))dx + f'(x)\delta(dx) = \delta(f'(x))dx = f''(x)\delta xdx = f''(x)dx^2$ + + +\subsection{Теоремы (без док-ва)} +Дост. (и необх.) условие $\e$ касательной к графику: дифференцируемость +\\ +Об арифм. операциях, сложной, обратной, параметрическoй функции: позже с доказательством +\\ +Дифференциал арифм. операций: то же, что и производная, но вместо $f(x)$ - $d(f(x))$ +\\ +$n$-ая производная произведения: +$(uv)^{(n)} = u^{(n)}v + C^1_nu^{(n-1)}v^{(1)} + C^2_nu^{(n-2)}v^{(2)} + \dots + C^{n-1}_nu^{(1)}v^{(n-1)} + uv^{(n)}$ +\\ \hspace*{1cm} По аналогии с формулой для $(a+b)^n$ + +\subsection{Теоремы (с док-вом)} + +\begin{enumerate} +\item производная суммы \\ +$(f' \pm g') = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) \pm g(x) \mp f(x + \Delta x) \mp g(x + \Delta x)}{\Delta x} = +\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) - f(x + \Delta x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x) - g(x + \Delta x)}{\Delta x} += f' + g'$ + +\item Производная произведения \\ +$(fg)' = \dlim x \frac{f(x+\Dx)g(x+\Dx) - f(x)g(x)}{\Dx} = \dlim x \frac{f(x+\Dx)g(x+\Dx) - f(x+\Dx)g(x) + f(x+\Dx)g(x) - f(x)g(x)}{\Dx} += \\ = \dlim x f(x+\Dx)\frac{g(x+\Dx) - g(x)}{\Dx} + \dlim x g(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{\Dx} +\overset{\e f', g'}= g'\dlim x f(x+\Dx) + f'\dlim x g(x) = \\ +\overset{f\text{ непрерывна}}=g'f + f'g $ + +\item Производная частного \\ +$\Delta y = y(x + \Dx) - y(x) = \frac{f(x + \Dx)}{g(x + \Dx)} - \frac{f(x)}{g(x)} += \frac{g(x)f(x+\Dx) - f(x)g(x+\Dx)}{g(x)g(x+\Dx)} += \frac{g(x)f(x+\Dx) - f(x)g(x) - f(x)g(x+\Dx) + f(x)g(x)}{g(x)g(x+\Dx)} = \\ += g(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{g(x)g(x+\Dx)} - f(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{g(x)g(x+\Dx} = +\frac{g(x)\Delta f - f(x) \Delta g}{g(x)g(x+\Delta x)} \\ +\dlim x \frac{\Delta y}{\Dx} = \dlim x \frac{\Delta f g(x) - f \Delta g(x)}{g(x)g(x+\Dx)\Dx} +\overset{g \text{ непрерывна}}=\frac{f'g - fg'}{g^2}$ + +\item Производная сложной функции $f(\ph(t))$ \\ +$\Delta t \longrightarrow \Dx = \ph ( t + \Delta t ) - \ph(t) \\ +\Delta x \longrightarrow \Delta y = f'(x)\Dx + \alpha(\Dx)\Dx \\ +\frac{\Delta y}{\Delta t} = f'(x) \frac{\Dx}{\Delta t} + \alpha(\Dx) \frac{\Dx}{\Delta t} = +f'(x)\ph'(t) + \alpha(\ph(t+\Delta t) - \ph(t))\ph'(t) = \\ = [\Delta t \to 0 \implies \Dx \to 0 \overset{def}\implies \alpha \to 0] +\overset{\ph \text{ непрерывна}}=f'(\ph(t))\ph'(t) + 0 = f'(\ph)\ph'$ + +\item Производная Обратной функции $f^{-1}(y)$ \\ +$\Delta y \longrightarrow \Dx = f^{-1}(y+\Delta y) - f^{-1}(x) \to 0 +\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac 1 {\frac{\Delta y}{\Delta x}} = (*) \\ +x = f^{-1}(y);\;\Dx = f^{-1}(y + \Delta y) - f^{-1}(y) \implies +x + \Dx = f^{-1}(y + \Delta y) \implies f(x + \Dx) = y + \Delta y \implies +f(x + \Dx) - f(x) = \Delta y \\ +(*) = \frac 1 {\frac{f(x + \Dx) - f(x)}\Dx} \overset{f' \neq 0}= \frac{1}{f'(x)} \\ +f^{-1}(y) = \frac 1 {f'(x)}$ + +\item Производная параметрической функции $f = \system {x = \ph(t) \\ y = \psi(t)}$ \\ +предположим $\displaystyle +t \in \reg \eps {x_0} : \e \ph^{-1}(x),\; x \mapsto t \\ +y(t) = \psi(\ph^{-1}(\ph(t))) = \psi(\ph^{-1}(x)) = \psi \circ \ph^{-1} = y(x) \\ +\at{\frac{dy}{dx}}{x_0} = \at{\frac{d(\psi \circ \ph^{-1})}{dx}}{x_0} = +\at{\frac{d\psi}{d(\ph^{-1})}}{x_0}\at{\frac{d(\ph^{-1})}{dx}}{x_0} += \at{\frac{d\psi}{dt}\frac{dt}{d\psi}}{t_0 = \ph^{-1}(x_0)} += \frac{\at{\frac{d\psi}{dt}}{t_0}}{\at{\frac{d\ph}{dt}}{t_0}} = \frac{y_t'(t_0)}{x_t'(t_0)}$ + +\end{enumerate} + + + \section{Интегралы} +\subsection {Определения} +Дифф. Функцию $F: \s X \to \s R$ называют первообразной к $f: \s E \to \s R$, если $\all x \in \s X \; F'(x) = f(x)$ +\\ +Неопределённый интеграл: Множество всех первообразных функции $f$ +\\ +Интегральная сумма: если $T_{[a,b]} = [x_0, x_1,\dots, x_{n-1}]$ - разбиение $f$, $\ss{\xi_i}$ - кортеж отмеченных точек $\all \xi_i: x_i < \xi_i < x_{i+1}$, то +$I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=0}^n f(\xi_i)\Delta_i,\;\Delta_i = x_i - x_{i-1}$ называется интегральной суммой +\\ +Предел инт. сумм: $\Delta := \sup_i \Delta_i$, $\lim_{\Delta\to 0}I(x_i, \xi_i) +\\\hspace*{1cm} \all \eps > 0 \e \delta > 0, \all T_{[a,b]}, \all \ss{\xi_i} (\Delta < \delta \implies |I - I(x_i, \xi_i)| < \eps)$ +\\ +Определённый интеграл: $I$ - предел интегральных сумм $=: \int_a^b f(x)dx$ +\\ +Сумма дарбу: $\displaystyle +\bar s = \sum_i m_i\Delta_i, m_i = \inf_{[x_i, x_{i+1}]}; +\quad \rab S = \sum_i M_i\Delta_i, M = \sup_{[x_i, x_{i+1}]};$ + +\subsection{Теоремы (без док-ва)} + +Интегрирование по частям: Есть в доказательствах +\\ +Интегрирование заменой переменной: Есть в док-вах +\\ +СВОйства Сумм Дарбу: +\begin{itemize} + \item $\bar s = \inf \ss{I(x_i, \xi_i)};\quad \rab S = \sup \ss{I(x_i, \xi_i)}$ + \item $T_{[a,b]}' := T_{[a,b]} + \ss{x_{p1}, x_{p2}, \dots} \implies \bar s_T \leq \bar s_{T'} \leq \rab S_{T'} \leq \rab S_T$ +\end{itemize} +Функция Интегрируема тогда и только тогда, когда $\bar I = \rab I$ +\\ +Ф-я инт-ма $\Longleftrightarrow \all \eps > 0 \e T_{[a,b]}: \rab S(T) - \bar s (T) < \eps$ +\\ +Классы интегрируемых функций: +\begin{itemize} + \item Непрерывные + \item Монотонные + \item Имеющие конечно число точек разрыва $I$ порядка +\end{itemize} +СВОйства определённого интеграла: Линейность по аргументу; аддитивность по отрезку +\\ +Теорема о среднем значении: \\\hspace*{1cm} $\displaystyle \all x\; \sgn g(x) = const \implies +\e \mu \in \left[\inf_{[a,b]} f; \sup_{[a,b]} f\right] : \int_a^bf(x)g(x)dx=\mu\int_a^bg(x)dx$ +\\\hspace*{1cm} Если $f$ непрерывна, то по теореме о прохождении через промежуточное значение +\\\hspace*{1cm} $\e c: f(c) = \mu \implies \int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)$ +\\ +Формула Ньютона-Лейбница: $\dst \int_a^bf(x) = F(b)-F(a) = \from F a b$ +\\ +Формула Лейбница (дифференцирование интеграла с переменными пределами): +\ntab пусть $\dst f(x, t)$ непрерывна, тогда $I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx$ дифференцируем по $t$, +\ntab $\dst \frac{d}{d t}\int_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx = f(b(t),t)\frac{db}{dt} - f(a(t),t)\frac{da}{dt} + + \int_{a(t)}^{b(t)}\frac{\d}{\d t}f(x, t)dx$ +\ntab В частном случае, когда $f$ не зависит от $t$, + $\dst \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}f(x)dx = f(b(t))\cdot\at{\frac{db}{dt}} t - f(a(t))\cdot\at{\frac{da}{dt}}t$ +\\ +Замена переменной: $\int_a^bf(x)dx = \int_{\ph(a)}^{\ph(b)}f(\ph(t))\ph'(t)dt$ +\\ +Инт. По частям: $\int_a^bf(x)g'(x)dx = \from{(f\cdot g)} a b - \int^a_bf'(x)g(x)dx\hspace{1cm} +\int udv = uv - \int vdu$ + +\subsection{Теоремы (с док-вом)} +\begin{enumerate} +\item тут пиздец... +\end{enumerate} + \section{Теоремы о диф. ф-ях} \section{Построение Графиков} $\texttt{curl https://trust-me-bro.com | sudo bash}$ -\end{document} \\ +\end{document} |