diff options
Diffstat (limited to '2025math.tex')
| -rw-r--r-- | 2025math.tex | 416 |
1 files changed, 416 insertions, 0 deletions
diff --git a/2025math.tex b/2025math.tex new file mode 100644 index 0000000..3dcc7da --- /dev/null +++ b/2025math.tex @@ -0,0 +1,416 @@ +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage{fontspec} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{pifont} +\usepackage{hyperref} +\usepackage[margin=0.4in]{geometry} +\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% +\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% +\newcommand{\s}{\mathbb} +\newcommand{\e}{\exists} +\newcommand{\all}{\forall} +\newcommand{\ulim}{\mathop{\overline\lim}\limits} +\newcommand{\llim}{\mathop{\underline\lim}\limits} +\newcommand{\exclreg}[2]{\overset\circ\Omega_{#1}({#2})} +\newcommand{\mrx}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} +\newcommand{\system}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.} +\newcommand{\reg}[2]{\Omega_{#1}({#2})} +\newcommand\eps\varepsilon +\newcommand\ph\varphi +\newcommand\dst\displaystyle +\newcommand\exclude\setminus +\newcommand\rab\underline +\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}} +\renewcommand{\d}{\partial} +\newcommand{\bbar}[1]{\overline{\overline{#1}}} +\renewcommand{\bar}{\overline} +\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}} +\renewcommand*\contentsname{Содержание} +\setmainfont{FreeSans} +\graphicspath{ {../images} } +\hypersetup { + colorlinks, + linkcolor=blue, +} +% \everymath{\displaystyle} +% \DeclareMathOperator{\rotor}{rot} + +\title {Экзамен по матеше, 2025, I семестр} +\author {\texttt{justanothercatgirl}} + +\begin{document} +\maketitle +\tableofcontents + +\section{Числовые множества и последовательности} +\subsection{Определения} + +Ограниченное множество $A$: $\e c \in \s R, \all a \in A: |a| < c$ +\\ +Окресность: интервал, содержащий точку $(a,b) := \{x \in R | a < x < b\}$ +\\ +$\eps$-окресность: $(x-\eps, x+\eps)$ +\\ +Проколотая окресность: $\Omega_\eps(x) \exclude \{x\}$ +\\ +Предельная точка множества $p$: $\all \eps > 0 \; \e p_0 \in \s X: |p-p_0| < \eps$ +\\ +Верхняя грань $M$:\ $\all a \in \s A: a \leq M$ +\\ +Спермум: $(\rab S = \sup \s A) := (\all a \in \s A : a \leq S) \land (\forall \rab S' \leq \rab S \; \exists a' \in \s A : \rab S' \leq a')$ +\\ Инфинум аналогично \\ +Числовая последовательность: $f: \s N \implies \s X$. Обозначается $\ss{x_n}$ +\\ Ограниченная, неограниченная последовательность аналогично множеству \\ +Монотонная последовательность: $\all n \in \s N : x_{n} < x_{n+1}$ +\\ +Предел: $(A = \lim_{n\to\infty}\ss{x_n}) := (\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N : |x_n - A| < \eps)$ +\\ +Б.М: Аналогично пределу, но в конце $|x_n| < \eps$ +\\ +Б.Б: $\all A \e N \all n > N: A < |x_n|$ (для любого числа найдётся номер, после которого все члены больше числа) +\\ +Фундаментальная: $\all \eps > 0 \e N \in \s N \; \all n, m > N: |x_n - x_m| < \eps$ +\\ +Подпоследовательность: $\ss{n_i}$ - возрастающая $\implies \ss{x_{n_i}}$ - подпоследовательность $\ss{x_j}$ +\\ +Предельная точка последовательности: +$(\all \reg \eps p \exists \; \infty x \in \ss{x_n}) \lor (\exists \ss{x_{n_i}} \to a)$ \\ +Либо существует бесконечно много членов в любой окресности икса, либо сущ. подпоследоватлеьность, сходящаяся к $a$ +\\ +Верхний предел: $\displaystyle \rab S = \ulim_{n\to\infty} \ss{x_n} := \lim_{n\to\infty}\sup_{k \geq n}\ss{x_k}$ +\\ Нижний предел $\llim_{x\to\infty} \ss{x_n}$ Аналогично + +\subsection{Теоремы (без док-ва)} + +Предел арифмет. опер: $\ss{x_n}, \ss{y_n}$ сходятся $\implies$ Предел суммы, разности и произведения равен сумме, разности и произведению пределов. +Предел частного равен частному пределов, если \\ + $(\all n \in \s N \; y_n \neq 0) \land (\ss{y_n} \not \to 0)$ +\\ +О 3 послед. (2 полиц.): $(\ss{x_n}, \ss{z_n} \to a) \land (\forall n \in N \; x_n \leq y_n \leq z_n) \implies \ss{y_n} \to a$ +\\ +Вейштрассa (пред. монот. огр. посл-ти): $\displaystyle (\ss{x_n} \text{неубыв.} \land \text{огр. сверху}) \equiv +\e \lim_{n\to\infty}\ss{x_n}=\sup_{n\in\s N}x_n$ +\\ +Коши-Кантора (Вложенные отрезки): $\ss{I_n} := I_1 \supset I_2 \supset \dots \supset I_k \supset \dots \implies +\e c: \forall k\; c \in I_k$. Так же: +$\all \eps > 0 \exists I_k : |I_k| < \eps \implies \e! c: \all k \; c \in I_k$ (знаком модуля обозначается длина отрезка) +\\ +Больцмана-Вейштрасса: $\exists \sup \ss{x_n} \implies \exists \ss{x_{k_i}}: \ss{x_{k_i}}\to a$ (если ограничена, есть сход. подпосл.) +\\ +Критерий Коши: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. + +\subsection{Теоремы (с док-вом)} +\begin {enumerate} + +\item Единственность предела: Пусть $\ss{a_n} \to b_1, b_2, b_2>b_1$. По определению: \\ +\[ +\begin{aligned} + \all \eps > 0 &\e N_1 \in \s N,\;\all n > N_1 &: |a_n - b_1| < \eps \\ + \all \eps > 0 &\e N_2 \in \s N,\;\all n > N_2 &: |a_n - b_2| < \eps \\ +\end{aligned} \implies \left\{\begin{aligned} + -\eps &< a_n - b_1 &< \eps \\ + -\eps &< a_n - b_2 &< \eps \\ +\end{aligned}\right. \implies +\] +\centerline{[ Возьмём $N = \max {N_1, N_2};\;\varepsilon = \frac{b_2-b_1}2 > 0$ ]} +\[ \implies +\left\{\begin{aligned} + a_n - b_1 &< \frac{b_2-b_1}2 \\ + a_n - b_2 &> \frac{b_1-b_2}2 +\end{aligned}\right. \implies \system{ + a_n &< \frac{b_1 + b_2}2 \\ + a_n &> \frac{b_1 + b_2}2 \\ +} +\] +Что приводит к противоречию, значит, предел единственный + + +\item сходящаяся последовательность ограничена: Пусть $\ss{a_n} \rightarrow a$. По определению: \[ + \all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n > N: |a - a_n| < \eps +\] +Выберем $\eps,\,N$. Тогда $x_n \overset{n > N}> |a| + \eps$. Возмём $M > \max\{|a_1|\dots|a_n|, |a|+\eps\}$. +Получаем, что \[\all n : |a_n| < M \] + + +\item Арифметические операции: \\ +Можно легко доказать, что $\ss{x_n} \to a \implies \exists \ss{a_n} \to 0: \all n \quad(x_n = a_n + a)$ \\ +Аналогично можно доказать обратное + +Пусть $\ss{x_n} \to x_0, \ss{y_n} \to y_0$, тогда $\e \ss{\alpha_n}, \ss{\beta_n} : \forall n\quad x_n = x_0 + \alpha_n;\; y_n = y_0 + \beta_n$ + +Тогда \begin{itemize} + \item $x_n \pm y_n = x_0 \pm y_0 + \alpha_n + \beta_n = x_0 \pm y_0 + \gamma_n$ (По теореме о сумме бесконечно малых). Отсюда по обратной лемме выше +$\ss{x_n \pm y_n} \to x_0 \pm y_0$ + \item $x_n\cdot y_n = x_0y_0 + x_0\beta_n + y_0\alpha_n + \alpha_n\beta_n = x_0y_0 + + \alpha_n' + \beta_n' + \gamma_n' = x_0y_0 + \zeta_n$. по той же лемме доказано. + (пользовались теореме о произведении 1. б.м. на огр; 2. б.м. на б.м.) + \item Докажем $\lim\ss{\frac 1 {y_n}} = \frac 1{y_0}$ (по 2 пункту этого достаточно). + запишем определение: \[\all \eps > 0 \e N, \all n > N : |y_n - y_0| < y_0M\eps\] + \[ y_n < M \implies y_ny_0 \leq y_0M \text{ (по огр. сход. послед-сти) } \implies \frac{1}{y_ny_0}|y_n - y_0| = + \left|\frac 1 {y_0} - \frac 1 {y_n}\right| < \frac{y_0M\eps}{y_0M} < \eps \] + Получаем определение: $\all \eps > 0 \e N \in s N, \all n > N : \left|\frac{1}{y_n} - \frac{1}{y_0}\right| < \eps$, + то есть доказано \\ + (ну типа $\ss{\frac{x_n}{y_n}} = \ss{\frac{1}{y_n}}\ss{x_n} \to \frac{1}{y_0}x_0 = \frac{x_0}{y_0}$) +\end{itemize} + + +\item Два полицейских: Раскрываем модули из определения +\[ +\system{ + |x_n - c| &< \eps \\ + |z_n - c| &< \eps \\ +} \implies \system { + c-\eps &< x_n \\ + z_n &< c+\eps \\ +} \implies c-\eps < x_n \leq y_n \leq z_n < c + \eps \implies |y_n - c| < \eps +\] откуда получаем определение предела для $\ss{y_0}$ + + +\item Предел подпосл. Сходящейся посл. \\ +$\all \eps > 0 \e N \in \s N , \all k > N : |x_k - a| < \eps \\ +\forall k \; n_k > k \implies \all \eps > 0 \e N \in \s N , \all n_k > N : |x_{n_k} - a| < \eps$ + + +\item неуб. огр. сверху имеет предел \\ +Из ограниченности $\e s = \sup \ss{x_n} \overset{def}: \all \eps > 0 \e N: s - \eps \leq x_N < s (+\eps);\; +\all n > N : x_n > x_N \implies \\ \implies \all \eps > 0 \e N \in N, \all n > N: |x_n - s| < \eps$ + + +\item о вложенных отрезках. Возьмём последовательность начал и концов: $\ss{a_n} ,\ss{b_n}$. +Обе ограничены $(\all n \in \s N a_n,b_n \in [a_1, b_1], \all n\; a_{n+1} > a_n, b_{n+1} < b_n) \implies +\e \tilde\alpha = \sup \ss{a_n} \land \e \tilde\beta = \inf \ss{b_n}\quad (\tilde\alpha \leq \tilde\beta)$ \\ +Пусть $c \in [\tilde\alpha,\tilde\beta];\; \all n \in \s N\; a_n \leq \tilde\alpha \leq c \leq \tilde\beta \leq b_n \implies +c \in [a_n, b_n]$ \\ +Пункт b: $\lim_{x\to\infty} a_n = \lim_{x\to\infty} b_n \land \all n \in N\; a_n \leq c \leq b_n \implies \exists!c$ (по 2 полицейским) + + +\item Больцано-Вейштрасса. +$a:=\inf\ss{x_n},b:=\sup\ss{x_n}$. пусть $x_1$ - первый элемент подпосл. Разобъём $[a,b]$ пополам, выберем ту половину, +где бесконечно много членов $\ss{x_n}$, оттуда выберем $x_2$. По аксиоме выбора составляем бесконечную посл-ть $\ss{x_{k_i}}$, +повторяя это действие. $\all i \in \s N \; x_{k_i} \in [a_i, b_i] \supset [a_{i+1}, b_{i+1}] \land |b_i-a_i| += \frac{b-a}{2^{i-1}}$. Из теоремы о вложенных отрезках: $\ss{b_i-a_i}\to 0 \implies \e!c: \ss{x_{k_i}}\to c$. +Типа доказано. + + +\item что фунд. Посл-ть ограничена. \\ +По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N \implies +x_N - \eps < x_n < x_N + \eps. +\]\[ + \exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. +\] Что формирует определение ограниченной последовательности + + +\newpage +\item Критерий коши +\begin{itemize} + \item фундаментальность $\implies$ сходимость (достаточность): \\ + Из фундаментальности следует, что $\e N, \all n > N : x_N - \frac \eps 3 < x_n < x_N + \frac \eps 3$; + Положим $a_n := \inf_{k \geq n}\ss{x_k}; b_n := \sup_{k \geq n}\ss{x_k}$. Т.к. при $n'>n\;\sup$ и $\inf$ + берутся на меньшем множестве, $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$, и имеется последовательность + вложенных отрезков, и у них имеется общая точка \\ + $\e A, \all n: \; a_n < A < b_n \\ \system{ + X_N - \frac \eps 3 &< x_n \\ + X_N + \frac \eps 3 &> x_n + } \overset{\text{из огранич.}}\implies \system { + X_N - \frac \eps 3 &\leq \inf_{k \geq n}\ss{x_k} = a_n\\ + X_N + \frac \eps 3 &\geq \sup_{k \geq n}\ss{x_k} = b_n \\ + } \implies x_N - \frac \eps 3 < a_n < A < b_n \leq x_N + \frac \eps 3 + \implies |x_N - A| \leq \frac \eps 3.\quad|x_n - A| = |x_n - x_N + x_N - A| + \leq |x_n - x_N| + |x_N - A| \leq 2\frac \eps 3 \leq \eps$ \\ + Окончательно: $\all \eps >0 \e N \in \s N, \all n > N: |x_n - A| \leq \eps$ + \item сходимость $\implies$ фундаментальность (необходимость): \\ + Из определения сходимости $\e n, m > N(\eps): \system{ + |x_m - A| < \frac \eps 2 \\ + |x_n - A| < \frac \eps 2 + };\quad |x_n - x_m| = |x_n - A - x_m + A| < |x_n - A| + |A - x_m| < 2\frac \eps 2 = \eps$ \\ + Получаем $\all \eps > 0 \e N(\eps) \in \s N, \all n, m > N : |x_n - x_m| < \eps$ +\end{itemize} + + +\item ограниченная посл-ть имеет верхний и нижний пределы:\\ +Рассмотрим множество $\{x \in \s R | \text{правее x конечное число или нет членов} \ss{x_n}\}$. +это множество ограничено снизу, в качестве нижней грани можно взять любое число $m < \inf \ss{x_n}$. +Тогда $\e\inf\ss{x} = \rab x$. Докажем, что $\rab x$ - предельная точка $\ss{x_n}$ и +$\rab x = \sup\ss{\sup{x_n}} \equiv \rab x = \ulim \ss{x_n}$. + +1. по определению $\all \eps > 0, \all (\rab x - \eps) \not \in \ss{x} \implies$ правее $(x-\eps)$ + б.много элементов $\ss{x_n}$. между $\rab x$ и $\rab x + \eps$ конечное число, тогда между +$(\rab x-\eps, \rab x + \eps)$ б.м. элементов и это предельная точка + +2. Мы определили, что правее $\rab x + \eps$ конечное число членов $\ss{x_n}$. Тогда +в $\eps$-окресности $\rrab x > \rab x$ не может быть б.м. членов. Доказано. + +Нижний предел доказывается аналогично. + + +\item У огр. посл-ти $\e$ хотя бы 1 предельная точка + +аналогично прошлому + + +\item эквив. Двух опред. предельной точки +\begin{itemize} + \item Пусть $\lim_{x\to\infty} \ss{x_{k_n}} = a \implies \all \eps > 0 \e N, \all n > N : |x_{k_n} - a| < \eps$. + Тогда в любой $\eps$-окресности лежит $\infty$ эементов (все, начиная с $N$). Поскольку Элементы + $\ss{x_{k_n}}$ так же элементы $\ss{x_n}$, то в окресности точки $a$ лежит $\infty$ элементов + \item Пусть в окресности $a$ лежит $\infty$ элементов $\ss{x_n}$. рассмотрим $\eps$-окресности + $\left\{1, \frac 1 2, \frac 1 3, \dots , \frac 1 n\right\}$. в первой выберем $k_1$, во второй - $k_2$, + при этом $k_2 > k_1$, по аксиоме выбора продолжая этот процесс получаем бесконечную ограниченную монотонно возрастающую + последовательность ($\all n: (k_{n+1} > k_n \land k_n < a + \frac 1 n)$), которая является + подпоследовательностью $\ss{x_n}$ +\end{itemize} + + +\item Из неогр. Посл-ти можно выделить б.б. подпоследовательность + +Заметим, что если у б.б. посл-ти "убрать" конечное число элементов, +она останется б.б. (иначе это противоречило бы определению б.б.) + +т.к. $\ss{x_n}$ - б.б., то $\e n_0: |x_{n_0} := k_0| > 1$. +Рассмотрим $\ss{x_n^1} = {x_{n_0}, x_{n_0 + 1}, \dots}$. +Из $\ss{x_n^1}$ выберем $k_1$. По аксиоме выбора, если мы +продолжим этот процесс, получим бесконечно большую (очевидно) +последовательность. $\ss{k_n}$, которая является подпосл. $\ss{x_n}$ + +\end{enumerate} + + +\subsection{Задачи} +\begin{enumerate} +\item Неравенство Бернулли $\left(1+x\right)^n \geq 1 + nx, x \geq -1, n \in \s N$. \\ + +$n = 1: 1 + x \geq 1 + x$ \\ +$(1+x)^n \geq 1 + nx \implies (1 + x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + x(n+1) + nx^2 +\leq (1+x)^{n+1} \implies 1 + (n+1)x \leq (1+x)^{n+1}$ \\ +По индукции, доказано + +\item Отрицание к определению фунд. посл-ти: \\ +Само определение: $\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n, m > N: |x_n - x_m| < \eps$\\ +Отрицание: $\e \eps > 0, \all N \in \s N, \e n, m > N: |x_n - x_m| > \eps$ + +\end{enumerate} + +\subsection{Сложные задачи} +:) потом как-нибудь.. + + +\section{Предел и непрерывность функции} +\subsection{Определения} + +Ограниченная функция: $\exists c \in \s R \; \all x \in \s X: |f(x)| < c$ +\\ +Грань (верхняя) $:= M: \all x \in \s X\; f(x) \leq M$ +\\ +Точная Грань (верхняя) $:=M : \system{ + &\all x \in \s X; f(x) \leq M \\ + &\all \eps > 0 \e x_0 \in \s X: M-\eps < f(x_0) \leq M\\ +}$ +\\ +Монотонность: $(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2), \dots)$ +\\ +$\displaystyle \lim_{x\to{}x_0}f(x) = b$ (Коши): $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_0 \in \s X (0 < |x - x_0| < \delta \implies |b - f(x_0)| < \eps)$ +\\ +$\displaystyle \lim_{x\to x_0 + 0}f(x): \dots (x_0 < x < x_0 + \delta \implies \dots)$ +\\ +$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x): \dots (x > \delta \implies \dots)$ +\\ +$\displaystyle \lim_{x\to a} = +\infty: \dots (\dots \implies f(x) > \eps)$ +\\ +$\displaystyle (\lim_{x\to+\infty} = +\infty) := (\all \eps > 0 \e \delta > 0 \all x \in \s X (x > \delta \implies f(x) > \eps))$ +\\ +$\displaystyle (\lim_{x\to a} = 0) := (\all \eps > 0 \e \delta > 0 \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x)| < \eps))$ +\\ +$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = b$ (Гейне): $\all \ss{x_n}: ((\all n: x_n \neq x_0)\land(\ss{x_n}\to x_0) \implies {f(x_n)} \to b)$ +\\ По гейне буквально все определения одинаковые, даже думать не надо... \\ +Непрерывность в точке $a$: $\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X (|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \eps)$ +\\ +Непрерывность на промежутке: непрерывна $\all x \in [\text{промежуток}]$ +\\ +Обратная функция: $\all x \in \s X: f(f^{-1}(x)) = x$\\ +$f: \s X \to \s Y , +(\all x_1,x_2 \in \s X, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2) +\land (\all y \in \s Y \e x \in \s X: f(x) = y) +\overset{f \text{ bijective}}\implies \e f^{-1} : \s Y \to \s X$ +\\ +Точка разрыва: отрицание непрерывности +\\ +Разрыв 0 (устранимый): $a \in \s X$ - т.разрыва, если $\exists \text{ непр. } \tilde f : +\all x \in \s X \exclude \ss a: f(x) = \tilde f(x)$ +\\ +Разрыв 1: $\displaystyle +(\lim_{x\to a+0}f(x) \neq f(a)) \lor (\lim_{x\to a-0}f(x) \neq f(a))$ +\\ +Разрыв 2: $\displaystyle +(\not \e \lim_{x\to a+0}f(x)) \lor (\not \e \lim_{x\to a-0}f(x))$ + +\newpage +\subsection{Теоремы (без док-ва)} + +Критерий коши сущ. педела: \\ +$\begin{aligned} +&x \to a&: &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x_1, x_2 \in \exclreg \delta a &\implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps) \\ +&x \to \infty&: &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x_1, x_2 > \delta &\implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps) +\end{aligned}$ +\\ +Об односторонних пределах: +$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x) = \lim_{x\to a-0}f(x) \Longleftrightarrow \e \lim_{x\to a}f(x)$ +\\ +О предельном переходе в неравенство: \\ $\displaystyle +a := \lim_{x \to x_0}f(x),\;b := \lim_{x \to x_0}g(x), \all x \in \exclreg \eps {x_0} +(f(x) < g(x) \implies a < b)$ +\\ +О единственности предел: ну... +\\ +О пределе монотонной функции: Если $f : \s X$ ограничена и монотонно неубывает на $(a,b) \in \s X$, \\ +то $\displaystyle \e \lim_{x\to a+0}f(x) = \inf_{(a,b)}f(x), \lim_{x\to b-0}f(x) = \sup_{(a,b)}f(x)$ +\\ +1 Зам. предел: $\dst \lim_{x \to 0} \frac{\sin x} x = 1$ +\\ +2 Зам. предел: $\dst \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac 1 x\right)^x = e \approx 2.718281828459045\dots$ +\\ +Непрерывность: $f, g$ непр. в $a \implies f\pm g;\; f\cdot g;\; (g(a) \neq 0) \dst \frac f g$ непрерывны +\\ +Сложной ф-ии: $f: \s X \to \s Y, \ph: \s T \to \s E \subseteq \s X, +\ph \text{ непр. в } a, f \text{ непр. в } \ph(a) \implies f\circ\ph $ непр. в $a$ +\\ +Обр. Ф-ии: $f : \s X \to \s Y$ непр. и строго монот. на $\s X = [a,b] \implies \system { + &\s Y = [f(a),f(b)] \\ + &\e!f^{-1}: \s Y \to \s X \\ + &f^{-1} \text{ ("так же" монот.) и непрер. на } \s Y +}$ + +\subsection{Теоремы (с док-вом)} +\begin{enumerate} +\item О сумме бесконечно малых: $f, g$ б.м. в $a$ +$\system{ + &\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 1) \\ + &\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 1) \\ +}\\ +\delta := \min\ss{\delta', \delta''},\quad |f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \eps +$, что образовывет определение б.м. $f$-ии в $a$ + + +\item О произведении на б.м.: $\lim_{x\to a}f(x) = 0, g(x)$ - ограничена\\ +$\system{ + &\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)| < \frac \eps c) \\ + &\e c, \all x \in \exclreg \delta a: |g(x)| \leq c +} \quad\implies |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)| \leq c \frac \eps c = \eps \implies \\ +\implies \all \eps > 0 \e \delta < 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)g(x)| < \eps)$ + + +\item Об арифм. опер.: абсолютно аналогично последовательностям + + +\end{enumerate} +\section{Производные и дифференциалы} +\section{Интегралы} +\section{Теоремы о диф. ф-ях} +\section{Построение Графиков} + +$\texttt{curl https://trust-me-bro.com | sudo bash}$ + +\end{document} \\ |