\documentclass{article}

\begin{document}

Билет 5. Законы, описывающие индивидуальные свойства сил. Закон всемирного
тяготения. Закон Гука. Законы для сил сухого и вязкого трения. Явление
застоя. Явление заноса.
\begin{enumerate}
	\item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_\max$, чтобы привести груз
	в движение (задача с затухающими колебаниями на шероховатой доске)
	\item явление заноса: при движении тела, перпендикулярная сила трения покоя =0 
	(задача: на ленте лежит груз, груз на пружине и стоит на месте, лента под ним едет, 
	тогда сколь угодно малая сила $\perp$ движению сместит груз. Если бы лента не двигалась,
	такого бы не было)
\end{enumerate}


Билет 6. Система материальных точек. Число степеней свободы системы.
Изолированная и замкнутая системы материальных точек. Закон
сохранения импульса.
\begin{enumerate}
	\item Число степеней свободы: Количество независимых переменных, необходимых для
	однозначного задания состояния системы. Пример: Мат. точка - 3, $(x, y, z)$;
	Аб. твёрд. тело - 6, $(x, y, z, \alpha, \beta, \gamma)$.
\end{enumerate}


Билет 7. Центр масс. Теорема о движении центра масс.
\begin{enumerate}
	\item Центр масс системы: $\vec r = \frac 1 M \sum_i^n m_i \vec r_i$ - такая  точка, которая,
	имея массу, равную суммарной массе системы, при движении со скоростью $\vec v$ 
	(скорость центра масс) имеет такой же импульс, как система материальных точек
	\item $M\vec r = \sum_i^n m_i \vec r_i \implies M\vec v = \sum_i^n m_i\vec v_i \implies 
	P = M\vec v.\\ \vec F=\frac{d\vec P}{dt} \implies M\vec a = \vec F$, где $\vec a$ - ускорение 
	центра масс, $\vec F$ - равнодействующая сил, действующих на систему
\end{enumerate}


Билет 8, 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского (8). Формула циолковского (9).
\begin{enumerate}
	\item Движение тел с $M \not = const$. Пусть $M(t), v(t)$ - ракета, $u=const$ - топливо. \\
	$Mv = (M+dM)(v+dv) + (-dM)(v-u),\;(dMdv << 1)\; \implies Mdv+udM = 0;\; 
	M\frac{dv}{dt} = -u\frac{dM}{dt};\;\mu = -\frac{dM}{dt};\;\vec F = -\mu\vec u$ (последнее просто определили) \\
	$M(t)\frac{dv}{dt} = F$. Теперь учтём присоединение массы со скоростью $\vec w$, работу
	внешних сил $Fdt$ и произвольное направление скоростей. Получим:\\
	$M d\vec v=-\vec udM_{-}+\vec wdM_{-}+\vec Fdt \implies \\
	\implies M(t)\frac{d\vec v}{dt} = \vec u \mu_{-} + \vec w \mu_{+} + F$ \\
	Это соотношение называется уравнением мещерского. В общем виде оно сложно и решается численно.
	\item Рассмотрим частный случай: 
	$\displaystyle Mdv + udM = 0 \implies \frac{dM}M = -\frac{dv}u
	\int_{M_0}^M \frac{dM}M = -\int_{v_0}^v \frac {dv} u;\; \ln\frac{M}{M_0} = -\frac{v-v_0}{u}$ \\
	$v = v_0 - u\ln\frac M{M_0}$ - Формула Циолковского, которая позволяет оценить конечную скорость ракеты
\end{enumerate}


Билет 10-11. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
Консервативные силы и системы. Потенциальная энергия. (10). 
Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон изменения и сохранения 
механической энергии (11)
\begin{enumerate}
	\item $\delta A = \vec Fd\vec r = Fdr\cos\alpha;\;A=\int_1^2\vec F d \vec r \\
	\delta A = m\frac{d\vec v}{dt}dr = d\left(\frac{mv^2}2\right) \\
	A = \int_1^2 \vec F d\vec r = \int_1^2 d\left(\frac{mv^2}2\right) = 
	\frac{mv^2_2}2 - \frac{mv^2_1}2 = W_{k_2} - W_{k_1}$
	\item Консервативные силы: Работа не зависит от пути, определяется только начальным и конечным
	положением. Консервативные - Работа зависит от формы пути \\
	Примеры консерв.: Поле тяжести земли; неконсерв.: сила трения, реактивная сила
	\item [пример] Работа силы упругости: $A = \int_1^2 (-kx)dx - \frac k 2 (x_2^2 - x_1^2)$
	\item Потенциальная энегрия: $!\exists$ в консвервативных силах. \\
	$dW_p = -dA;\; A = \int_1^2 \vec F d\vec r = -(U_2 - U_1) = U_1 - U_2$. 
	Поскольку работа зависит только от начального и конечного положения, поэтому 0
	определяется нормировкой 
	\item Некоторые потенциальные формулы: $\left\{\begin{aligned} 
		U(x) &= \frac{kx^2}2 &; U(0) = 0 \\ 
		U(x) &= -G \frac{m_1 m_2}r &; U(\infty) = 0 \\
		U(h) &= mgh &; U(0) = 0 \\
		U(r) &= \frac 1 {4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}r &; U(\infty) = 0
	\end{aligned}\right.$
	\item Набла и градиент: $dA = \vec F d \vec r = -dU = 
	(F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k)(dx\vec i + dy\vec j + dz\vec k) = 
	-\left(\frac{\partial U}{dx}dx + \frac{\partial U}{dy}dy + \frac{\partial U}{dz}dz\right) \\
	\vec F = - \nabla U [= -grad U]$ - такое поле называется потенциальным. Стационарное поле: 
	$F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy +\frac{\partial U}{\partial z}dz$
	\item Полная механическая энергия: В поле консерв: $A_{full} = A + A_{ext},\;A=\Delta W_p 
	\implies \Delta W_k = \Delta W_p + A_{ext}\quad(1)$ \\ 
	$W = W_k + W_p$, $W_2 - W_1 = A_{ext} = $ работа внешних сил\quad $(2)$ \\
	$(1), (2) \implies \Delta W = A_{ext}$ - закон изменения механической энергии \\
	Если сторонние силы не совершают работу или отсуствуют, то полная механическая энергия в поле
	консервативных сил не изменяется $E = const,\;\frac{dE}{dt} = 0$
\end{enumerate}


Билет 12. Соударения тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса
при соударениях тел.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 13. Неинерциальные системы отсчета. Движение материальной точки
относительно неинерциальной системы отсчета. Силы инерции. Переносная
и кориолисова силы инерции. Центробежная сила инерции.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 14. Кориолисова сила инерции. Примеры ее проявления на Земле.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 15. Кинематика абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное
движение твердого тела. Плоское движение. Угловая скорость и угловое
ускорение. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 16. Уравнение моментов для вращательного движения твердого тела
вокруг закрепленной оси. Момент инерции относительно оси и приёмы
его вычисления. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 17. Теорема Кёнига. Кинетическая энергия твердого тела при плоском
движении.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 18. Момент импульса материальной точки. Момент силы. Закон
сохранения момента импульса для материальной точки.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 19. Движение абсолютно твердого тела с закрепленной точкой. Тензор
инерции. Осевые и центробежные моменты инерции.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 20. Главные и центральные оси вращения. Силы и моменты сил, действующие
на вращающееся твердое тело. Свободные оси вращения.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 21. Гироскопы. Прецессия гироскопа. Угловая скорость вынужденной
прецессии. Уравнение (формула) гироскопа. Гироскопические силы.
Правило Н. Е. Жуковского. Волчки.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 22. Динамика твердого тела. Уравнение движения центра масс и уравнение
моментов. Динамика плоского движения твердого тела.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 23. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение
гармонических колебаний. Его решение. Пружинный и математический
маятник. Механическая энергия системы, совершающей свободные
колебания.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 24. Свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний. Частота
и период колебаний. Фаза и начальная фаза. Начальные условия.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 25. Сложение гармонических колебаний. Биения. Частота биений. Фигуры
Лиссажу.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 26. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний, его решение.
Показатель затухания. Логарифмический декремент затухания. Время
релаксации. Добротность.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 27. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его
решение. Процесс установления колебаний.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 28. Резонанс. Амплитудная резонансная кривая. Ширина амплитудной
резонансной кривой и добротность.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 29. Понятие о нелинейных колебаниях. Параметрическое возбуждение
колебаний. Автоколебания. Релаксационные колебания.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 30. Связанные колебательные системы. Нормальные колебания (моды) и
парциальные колебания. Нормальные и парциальные частоты.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 31. Волны. Распространение «импульса» в среде. Продольные и поперечные
волны. Уравнение бегущей волны. Скорость волны и скорости «частиц».
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 32 (34). Волновое уравнение, его решение. Плоская гармоническая бегущая
волна. Волны смещений, скоростей, деформаций.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 33. Волны на струне, в стержне, в газовой среде. Связь скорости волны со
свойствами среды.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 35. Стоячие волны. Распределение амплитуд смещений, скоростей и
деформаций «частиц» в стоячей волне. Узлы и пучности.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 36. Нормальные колебания струны, стержня, столба газа. Акустические
резонаторы, резонаторы Гельмгольца.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 37.Элементы акустики. Звуковые волны. Высота и тембр звука. Громкость
звука.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 38. Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова. Интенсивность волны.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 39. Движение со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны. Конус Маха.
Число Маха.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 40.Классический эффект Доплера.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 41.Основные понятия теории относительности. Пространство и время в
релятивистской механике. Два постулата Эйнштейна. Синхронизация
часов.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 42. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований Лоренца.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 43. Собственная длина и собственное время. Лоренцево сокращение длины
движущихся отрезков. Релятивистское замедление темпа хода движущихся
часов.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 44. Событие в специальной теории относительности. Интервал между
событиями. Инвариантность интервала. Свето-подобные, времени-
подобные и пространственно-подобные интервалы.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 45. Относительность одновременности. Интервал между событиями.
Причинно-следственная связь между событиями. Скорость света как
максимальная скорость распространения сигналов.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 46. Сложение скоростей в релятивистской механике.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 47. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения. Понятие о
сопутствующей системе отсчета.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 48. Энергия частицы в релятивистском случае. Связь энергии, импульса и
массы.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая и
остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига,
кручения, изгиба. Количественные характеристики деформаций.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 50. Закон Гука для различных видов деформаций. Модуль Юнга.
Коэффициент Пуассона. Модуль сдвига. Связь между модулем Юнга и
модулем сдвига (формула с пояснением).
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 51. Энергия и объемная плотность энергии деформированного твердого тела.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 52. Основы гидро- и аэростатики. Давление и сила давления. Основное
уравнение гидростатики. Закон Паскаля. Гидравлический пресс.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 53. Распределение давления в покоящейся жидкости (газе) в поле силы
тяжести. Барометрическая формула.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 54. Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел. Центр
плавучести и метацентр.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 55. Стационарное течение жидкости (газа). Линии тока. Трубки тока.
Идеальная жидкость. Течение идеальной жидкости. Уравнение
Бернулли, условия его применимости.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 56. Сила вязкого трения. Закон Ньютона для вязкого трения. Вязкость.
Число Рейнольдса.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 57. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 58. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса.
Парадокс Даламбера. Лобовое сопротивление при обтекании тел.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}


Билет 59. Циркуляция скорости. Подъемная сила. Формула Жуковского. Эффект
Магнуса.
\begin{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
