
\input{common.inc}

\title{Экзамен по ангему, I семестр, 2025}

\begin{document}
\maketitle

\begin{quotation}
- ``Пошёл нахуй'' \\
Цитата анона
\end{quotation}

\tableofcontents

\section*{Обозначения}
\begin{itemize}
	\item ЛЗ - Линейно зависимы
	\item ЛН - Линейно независимы
	\item ЛК - Линейная комбинация
	\item ЛО - Линейная оболочка
	\item ОНБ - ортонормированный базис
	\item СЛУ - система линейных уравнений
	\item ОСЛУ - однородная система линейных уравнений
	\item ФСР - фундаментальное семейство решений
	\item ЭП - элементарные преобразования
	\item В 7 разделе я после 7 упражнения ввёл миллион обозначений чисто для той темы
\end{itemize}

\section{Векторы}
\subsection{}
Линейные операции над векторами:
\ntab Сложение (по правилу треугольника)
\ntab Умножение на число ($\v a \prll \v b;\;|\v b| = |\lambda|\cdot|\v a|a;$ соноправлены если $\lambda > 0$, противонапр. если $\lambda < 0$)
\ntab Свойста: $a+b=b+a$, $a + (b+c) = (a+b) + c$, $\e 0: \v a + 0 = \v a$, $\e -\v a: \v a + (-\v a) = 0$, $(a + b)\v c = a\v c + b\v c$, $\e 1: 1\cdot \v a = \v a$ 
\\
Коллинеарные вектора: $\e l: \v a \prll l \land \v b \prll l \implies \v a \prll \v b$ (Они коллинеарны)
\ntab Для коллинеарности  необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
\ntab Достаточность: $\e \alpha, \beta: \v a \alpha + \v b \beta = 0 \implies a = -\frac \beta \alpha \v b$, определение умножения: коллинеарны
\ntab Необходимость: $\v a = \lambda \v b \implies 1 \v a + (-\lambda) \v b = 0$ - ЛЗ
\\
Компланарные вектора: $\e \alpha \v a \prll \alpha \land \v b \prll \alpha \implies \v a, \v b$
\ntab Для компланарности 3 векторов необх. и дост., чтобы они были ЛЗ
\ntab ЛЗ \textrightarrow Компл: $\alpha \v a + \beta \v b + \gamma \v c = 0 \implies c = -\frac \alpha \gamma \v a - \frac \beta \gamma \v b \implies \v c$ 
	на диагонали п-грамма со сторонами $\nu \v a, \mu \v b$
\ntab Компл \textrightarrow ЛЗ: Теорема разложения: $\v c = \lambda \v a + \mu \v b$ - А тут уже по накатанной...
\\
Базис: Совокупность (1, 2) 3 единичных \cancel{ЛЗ} векторов с общим началом
\ntab Разложение по базису: ЛК базисных векторов, координаты вектора: $\ss{s_1, s_2, s_3}$ - Коэффц-ы ЛК
\ntab Единственность разложения по базису: 
	\ntab существование: по лемме (4 вектора всегда линейно зависимы (док-ся через пересечение плоскостей, заданных парами векторов)) 
	Вектора $\ss{e_1, e_2, e_3, a}$ ЛЗ, тогда $\v a = \alpha \v e_1 + \beta \v e_2 + \gamma \v e_3$
	\ntab Единственность: пусть $\v a = \alpha_1 \v e_1 + \alpha_2 \v e_2 + \alpha_3 \v e_3 = \beta_1 \v e_1 + \beta_2 \v e_2 + \beta_3 \v e_3$. Тогда
		$(\beta_1 - \alpha_1)\v e_1 + (\beta_2 - \alpha_2)\v e_2 + (\beta_3 - \alpha_3)\v e_3 = 0$, что противоречит \cancel{ЛЗ} базиса
\\
Задача 4: $\v{CA_1} = \v r_1 - \v r_0 \implies \v r_2 = \v r_0 - \v r_1 + \v r_0 = 2\v r_0 - \v r_1$
\\
Задача 5: $A_1B = kA_1A_2, k \in [0, 1] \implies \v r - \v r_1 = k\v r_2 - l\v r_1 \implies \v r = k\v r_2 - (k-1)\v r_1 = \alpha \v r_2 + \beta \v r_1, 
	\alpha + \beta = 1, \alpha,\beta \in [0, 1]$
\\
Задача 6: -\\
Задача 7: -\\
Задача 8: -\\
Определение Скалярного произведения: $\v a \cdot \v b = |\v a|\cdot|\v b|\cdot \cos(\v a, \v b)$
\ntab Свойства: $\v a \cdot \v b = \v b \cdot \v a$, $(\lambda\v a) \cdot \v b = \lambda (\v a \cdot \v b)$, $\v a \cdot \v a = |\v a|^2$ - очевидно
\ntab $(\v a + \v b)\cdot \v c = \v a \cdot \v c + \v b \cdot \v a$. Док-во: поделим на $|\v c|$, рассмотрим ОНБ: $\v e_1 = \v c$. Тогда 
	$\v a\cdot \v c = a_1, \v b \cdot \v c = b_1, (\v a + \v b)\cdot \v c = a_1 + b_1$ (координата суммы равна сумме координат)
\\
Формула скалярного произведения: $\v a \cdot \v b = \sum_i (a_i\v e_i \cdot \v b) = \sum_i a_i (\sum_j b_j\v e_j)\cdot \v e_i = \sum_{i,j} a_ib_j(\v e_i\cdot\v e_j) = \sum_k a_kb_k$
\\
Векторное пр-е: $\v c = \v a \times \v b, \v c$: $|\v c| = area \Pi(\v a, \v b) \land \v c \perp \v a \land \v c \perp \v b \land (\v a, \v b, \v c)$ имеет положительную ориентацию
	$\ntab \v a \times \v b = \mrxdet{
		\v e_1 & \v e_2 & \v e_3 \\
		a_1 & a_2 & a_3 \\
		b_1 & b_2 & b_3
	}$
\\
Св-ва векторного пр-я:
\ntab $\v a \times \v b = -\v b \times \v a, (\lambda \v a)\times\v b = \lambda [\v a \times \v b]$ - очевидно напрямую из определения
\ntab $(\v a + \v b) \times \v c = \v a \times \v c + \v b \times \v c$. 
	Док-во: рассмотрим $\v d = (\v a + \v b) \times \v c - \v a \times \v c - \v b \times \v c \ntab
	\v d \cdot \v d = \langle\v a + \v b, \v c, \v d\rangle - \langle \v a,\v  c, \v d \rangle - \langle\v  b,\v  c, \v d\rangle = 0 \implies \v d = 0$.
\\
бац минус цаб: $\v a \times [\v b \times \v c] = \v b(\v a \cdot \v c) - \v c(\v a \cdot \v b)$
\\
Тождество Якоби: $\v a \times [\v b \times \v c] + \v b \times [\v c \times \v a] + \v c \times [\v a \times \v b] = 0$
\ntab Док-во: расписать бац минус цаб
\\
Задача 14:- \\
\\
Смешанное пр-е: $\la\v a, \v b, \v c\ra = \v [a\times \v b] \cdot \v c$. Геом. Смысл: $\la\v a, \v b, \v c\ra = V_{or}(\v a, \v b, \v c)$ (Ориентированный объём п-пипеда)
\\
Cв-ва смешанного пр-я: косимметрично по каждой паре аргументов и линейно по каждому аргументу
\ntab Косимметричность: $\la a, b, c \ra = -\la b, a, c \ra$ e.t.c. Следует из: ориентация $a, b, c$ противоположна $b, a, c$ - следует из поворота $b\to a, a\to b$
\ntab линейность: по 3 аргументу следует из скалярного пр-я, отсюда же и для остальных аргументов
\\
Формула см-ого пр-я: Док-во: Сначала доказываем формулу векторного пр-я: \ntab По линейности расписываем для 3 координат и получаем: \\
	$ a_1b_1\underbrace{[\v e_1\times \v e_1]}_{=0} 
	+ a_1b_2\underbrace{[\v e_1\times \v e_2]}_{=\v e_3} 
	+ a_1b_3\underbrace{[\v e_1\times \v e_3]}_{=-\v e_2}
	+ a_2b_1\underbrace{[\v e_2\times \v e_1]}_{=-\v e_3}
	+ a_2b_2\underbrace{[\v e_2\times \v e_2]}_{=0} 
	+ a_2b_3\underbrace{[\v e_2\times \v e_3]}_{=\v e_1} \\
	+ a_3b_1\underbrace{[\v e_3\times \v e_3]}_{=\v e_2}
	+ a_3b_2\underbrace{[\v e_1\times \v e_1]}_{=-\v e_1} 
	+ a_3b_3\underbrace{[\v e_3\times \v e_3]}_{=0}
	= \mrxdet{a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3}\cdot \v e_1
	+ \mrxdet{a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1}\cdot \v e_2
	+ \mrxdet{a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2}\cdot \v e_3
	\implies \\ \implies \la \v a, \v b, \v c\ra = \mrxdet {
	a_1 & a_2 & a_3 \\
	b_1 & b_2 & b_3 \\
	c_1 & c_2 & c_3 \\
}$
\\
Правая тройка относительно базиса: Положительно ориентированная тройка векторов. положительно ориентированная: Тогда, когда ориентированный объём (смешанное произведение) больше нуля
\ntab ИЛИ: поворот $\v a$ к $\v b$ с конца $\v c$ виден по радианной стрелке
\\
Задание 18: Просто расписать всё по координатам и.. \textbf{страдать.}

\subsection{}
Пока что ничего, но скоро прибудет...

\section{<Голосом Голубцова> \textit{Матрицы!}}
\subsection{}
Линейные операции: Операции сложения и умножения матрицы на число. 
\ntab $\b A^m_n + \b B^m_n = \b C^m_n: c^i_j = a^i_j + b^i_j$
\ntab $\lambda \b A_n^m = B^m_n: b^i_j = \lambda a_j^i$
\\
Линейная комбинация столбцов: если есть $\mrx{S_1 & S_2 & \cdots & S_n}$, то ЛК столбцов: $S = \alpha_1S_1 + \alpha_2S_2 + \cdots + \alpha_nS_n$
\ntab Линейная оболочка: Множество всех линейных комбинаций столбцов
\ntab$L(S_1, S_2, \dots) = \ss{\alpha_1S_1 + \alpha_2S_2 + \dots | \alpha_{1,2,\dots}\in \s K}$
\ntab Пример ЛО: Если на плоскости задан 1 вектор и его координаты записаны в столбец, то его линейная оболочка - все коллинеарные ему вектора
\\
ЛЗ столбцы: $\e$ Нетрив. ЛК $=0$. Соответственно, ЛН - $\not \e$. Пример: Любые 4 вектора ЛЗ
\\
Теорема о ЛЗ столбцах: 
\ntab семейство ЛЗ, если : Есть повторения, есть 0, вектор можно представить в виде ЛК других, есть ЛЗ подсемейство
\ntab Если ЛН : любое подсемейство ЛН - ЛН, если $x_1\cdots x_r$ ЛН, а $x_1\cdots x_r, x$ ЛЗ, то $x$ - ЛК $x_1\cdots x_r$, и если $x_1\cdots x_r$ ЛН, и $\not \e$ ЛК $=x$, то $x_1\cdots x_r, x$ - ЛН
\ntab Док-во: Для ЛЗ семейств: легко привести пример
\ntab Для ЛН подсемейства: $\lnot(\text{с. ЛЗ} \implies \text{подс. ЛЗ}) \equiv \lnot \text{с. ЛЗ} \implies \lnot \text{подс. ЛЗ} \equiv \text{с. ЛН} \implies \text{подс. ЛН}$
\ntab Для последних двух: составляем ЛК. потом по контрапозиции отрицание.
\\
След матрицы: $\tr A^n_n = \sum_{i=1}^nA_i^i$. 
\ntab $\tr (A+B) = \tr A + \tr B$: Следует из правила сложения матриц
\\
Произведение матриц: $\b A^m_p \cdot \b B^p_n = \b {AB}^m_n: \ss{\b A \b B}^i_j = \sum_{r=1}^p a^i_r\cdot b^r_j$. Словами: каждый ${}^i_j$ элемент равен сумме произведения $i$-ой строки $\b A$ и $j$-ого столбца $\b B$
\\
$\b A \b B = \b 0$. Контрпример: $\mrx{0 & 1 \\ 0 & 0}\cdot\mrx{1 & 0 \\ 0 & 0} = \b 0$
\\
Чтобы получить первый столбец $\b A$: $\mrx{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$, первую строку: домножить слева на $\mrx{1 & 0 & \cdots & 0}$
\\
Сво-ва умнож: ассоциативность, дистрибутивность слев,и справа, единичная матрица, $\tr\b{AB} = \tr\b{BA}$
\ntab Док-во: Ассоциативность через определение поэлементного умножения, аналогично дистрибутивность
\ntab $\system{
	&\b{AB}^i_j = \sum_{r=1}^na^i_r\cdot b^r_j, \tr\b{AB} = \sum_{i = 1}^m\sum_{r=1}^na^i_r\cdot b^r_i \\
	&\b{BA}^i_j = \sum_{r=1}^ma^k_j\cdot b^i_k, \tr\b{BA} = \sum_{i = 1}^n\sum_{k=1}^ma^k_i\cdot b^i_k
}$
\\
10-13 задания тривиальны и решаются по определению
\\
Транспонированная матрица: $\b {\ss{A^T}}^j_i =\b{\ss A}^i_j$
\ntab Свойства: Линейность, инволютивность, транспонирование произведения, транспонирование обр-ой матрицы
\ntab $\left(\alpha \b A + \beta \b B\right)^T = \alpha \b A^T + \beta \b B^T$ - тривиально
\ntab $(\b A^T)^T = \b A$ - тривиально
\ntab $(\b A \cdot \b B)^T = \b B^T \cdot \b A^T$. $\ss{(\b{AB})^T}^j_i = \ss{\b{AB}}^i_j = \sum_{r=1}^pa^i_rb^r_j = \sum_{r=1}^p\ss {\b B^T}^j_r\ss {\b A^T}^r_i = \ss{\b B^T\b A^T}^j_i$
\ntab $(\b A^T)^{-1} = (\b A^{-1})^T$
\\ Обратная матрица: $\b A^{-1}: \b{AA}^{-1} = \id$. $\e \b A^{-1}$ только если $\b A$ невырождена ($\det \b A \neq 0$)
\ntab Единственность: $\b{AB}=\b{BA} = \b{AC}=\b{CA}=\id \implies \b B = \b B\id = \b B(\b {AC}) = (\b{BA})\b C = \id \b C = \b C, \b B = \b C$
\\
$\b A = \mrx{a & b \\ c & d} \implies \b A^{-1} = \frac 1 {\det \b A}\mrx{d & -c \\ -b & a}$
\\
Cвойства обр. матрицы: $\id^{-1} = \id;\; (\b{AB})^{-1} = \b A^{-1}\b B^{-1};\; (\b A^{-1})^{-1} = \b A$
\ntab док-во: первое очевидно из определения, второе очевидно из ассоциативности ($(\b A\b B)(\b B^{-1} \b A^{-1}) = \id$), третье легко получить из второго ($\inv{(\inv {\b A})}\inv {\b A} = \id$)
\\
Задание 18: Доказать, что $(\inv P A P)^k = \inv P A^k P$.
\ntab $\b(\inv P A P)^k = \underbrace{(\inv P A P)\cdots(\inv P A P)}_{k \text{ раз}} = \inv P A \underbrace{(P \inv P)A \cdots (P \inv P)A}_{k-1 \text { раз}} P = \inv P \underbrace{(A \id)\cdots(A \id)}_{k-1 \text{ раз}} A P = \inv P A^k P$

\subsection{}
Пока ничего, но скоро...

\section{Определители! (\textit{Тоже голосом ПВГ})}
\subsection{}
\begin{itemize}
\item Определение определителя 2 порядка: $\mrxdet{a & b \\ c & d} = ad - bc$\\
Свойство линейности: $\mrxdet{\alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 & b \\ \alpha_1c_1 + \alpha_2c_2 & d} = \alpha_1\mrxdet{a_1 & b \\ c_1 & d} + \alpha_2\mrxdet{a_2 & b \\ c_2 & d}$\\
Косимметричность: $\mrxdet{a & b \\ c & d} = -\mrxdet{b & a \\d & c}$
\item Формулы крамера: $\system{
		ax + by = p \\
		cx + dy = q
	} \implies \system{
		(ad-bc)x = pd - qb \\
		(ad-bc)y = qa - pc
	} \implies \system{
		x = \frac{pd-qb}{ad-bc} = \frac{\mrxdet{p & b \\ q & d}}{\mrxdet{a & b \\ c & d}} = \frac{\det \b S_x}{\det \b S} \\
		y = \frac{qa-pc}{ad-bc} = \frac{\mrxdet{a & p \\ c & q}}{\mrxdet{a & b \\ c & d}} = \frac{\det \b S_y}{\det \b S}
	}$
\item Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы ЛЗ. \\
	Док-во:
	\ntab достаточность: $\alpha S_1 + \beta S_2 = 0 \implies S_1 = -\frac \beta \alpha S_2 = \gamma S_2. \det |S_1, S_2| = \frac 1 \gamma \det |S_2, S_2| = 0$\\
	\ntab Необходимость: $ad-bc = 0 \implies ad = bc \implies \frac a b = \frac c d \implies \system{a = \alpha b \\ c = \alpha d} \implies \mrx{a\\c} - \alpha \mrx{b \\ d} = 0$
\item Определитель третьего порядка: числовая функция столбцов матрицы $\det: \underbrace{\s K^3 \times \s K^3 \times \s K^3}_3 \to \s K$
	\ntab Формула: $\mrxdet{a & b & c \\
		d & e & f \\
		g & h & i} = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg$
	\ntab Линейность по столбцам: 
\item примечание: Для определителей 2 и 3 порядков все свойства доказываются через тупое расписывание...
\item Формула определителя в общем виде: $\dst \det \s A = \sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{inv(\sigma)}\prod_{i=1}^na^{\sigma(i)}_i$. Через это определение доказываются все свойства в общем виде.
\item разложение определителя по столбцу: $\\\mrxdet {
	a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\
	a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 \\
	a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 \\
} = 
(-1)^{1 + 1}a^1_1 \mrxdet{a^2_2 & a^2_3 \\ a^3_2 & a^3_3} + 
(-1)^{2 + 1}a^2_1 \mrxdet{a^1_2 & a^1_3 \\ a^3_2 & a^3_3} + 
(-1)^{3 + 1}a^3_1 \mrxdet{a^1_2 & a^1_3 \\ a^2_2 & a^2_3}$
\item Минор $M^i_j$ - определитель, получившийся вычёркиванием $i$-ой строки и $j$-ого столбца. Алгебраическое дополнение - этот минор, умноженный на $(-1)^{i+j}$
\item Фальшивое разложение: Если разложить определитель по $j$-ому столбцу, заменить $j$-ый на $p$-ый, то получится определитель матрицы с ЛЗ столбцами, равный $0$. Тогда можно записать: 
	\ntab $\sum_{j=1}^na^j_pA^k_q = \delta_{pq}\det A$, где $A^i_j$ - алгебр. доп-я, $\delta_{ij} = \system{1, i=j\\0, i \neq j}$ - символ кронкера
\item Критерий равенства нулю определителя доказывается аналогично определителю 2-ого порядка
\item Определитель произведения: $\dst C = AB.\;C_k = \sum_{r=1}^nA_rb^r_k.\;\det C = \det \mrxddet{C_1,\dots,C_n} =\\=
	\det \mrxddet{\dst \sum_{r=1}^nA_rb^r_1, \dots, \sum_{r=1}^nA_rb^r_n} = \sum_{r_1 = 1}^n\cdots\sum_{r_1=1}^n b_1^{r_1}\cdots b_n^{l_n}\cdot \det\mrxddet{A_{r_1}, \dots, A_{r_n}}
	= \sum_{\sigma \in S_n}b_1^{\sigma_1}\cdots b_n^{\sigma_n}\det\mrxddet{A_{\sigma_1}, \dots, A_{\sigma_n}} = \\
	= \underbrace{\det \mrxddet{A_1,\dots,A_n}}_{\det \b A} \underbrace{\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{inv \sigma}\prod_{i=1}^n b_i^{\sigma_i}}_{\det \b B} = \det\b A\cdot\det\b B$
\item теорема о существовании обратной матрицы:$\det \b A \neq 0 \implies \e \b A^{-1} : \b A \cdot \b A^{-1} = \id$ 
	\ntab Необходимость: из предыдущей теоремы $|\b A\cdot\b A^{-1}| = |\id| = 1 \implies |\b A| \neq 0$
	\ntab Достаточность: Рассмотрим $\b A^{\lor} (\adj \b A) : \ss{A^{\lor}}^i_j = \mathcal A^i_j;\;\ss{\b A\cdot \b A^\lor}^i_j = \sum_{r=1}^n\ss{\b A}^i_r\ss{\b A^\lor}^r_j
	= \sum_{r=1}^na^i_r\mathcal A^j_r = \ntab = \det A \delta_{ij} \implies \b A\cdot \b A^\lor = |\b A|\cdot \id \implies A^{-1} = \frac 1{\det \b A}\b A^\lor$.
\end{itemize}
\subsection{}
Бля честно скоро я начну вторые разделы...

\section{Уравнения прямых и плоскостей... Теория!}
\subsection{}
\begin{itemize}
\item Уравнения прямой:
	\ntab $l: \wrap[]{\v r(t) = \v r_0 + \v s t} \equiv \wrap[]{\system{x = x_0 + t_x t \\ y = y_0 + t_b t \\ z = z_0 + t_z t}} \equiv \dst \wrap[]{\frac{x-x_0}{t_x} = \frac{y-y_0}{t_y} = \frac{z-z_0}{t_z}} \equiv \wrap[]{\mrxdet{x-x_0 & y-y_0 \\ t_x & t_y} = 0}$
	\ntab Смысл: что-то направляющий вектор, что-то начальная точка
\item Нормальное уравнение прямой:
	\ntab $\wrap[]{(\v r - \v r_0)\cdot \v n = 0} \equiv \wrap[]{\v r \cdot \v n = D} \equiv \wrap[]{A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0} \equiv \wrap[]{x\cos\alpha + y\cos\beta = p}$
	\ntab $n$ - нормальный вектор, $\cos$ - направляющие косинусы, $\dst p = \frac D {\sqrt{A^2+B^2}}$ - расстояние до прямой от начала координат, $x_0, y_0$ - точка, к которой опускается перпендикуляр
\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$. Площадь п-грамма: $\wrap||{(\v r_0 - \v p_0)\times \v s} = d|\v s| \implies d = \dst\frac{\wrap||{(\v r_0 - \v p_0)\times \v s}}{|\v s|}$
\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$, проекция: $\dst \v r_0 + \v s t - \v p_0 \perp \v s \implies t = \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s|^2}; \v r = \v r_0 + \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s^2|}\v s$
\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$,  $\v r = \v r_0 + \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s^2|}\v s; \v p' = 2\v r - p_0$
\item уравнение плоскости: $\wrap[]{\v r = \v r_0 + \v a t + \v b s} \equiv \wrap[]{\system{
	x = r_x + a_x t + b_x s \\
	y = r_y + a_y t + b_y s \\
	z = r_z + a_z t + b_z s
}} \equiv \wrap[]{\mrxdet{x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z} = 0} \equiv\\\equiv
\wrap[]{A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0} \equiv \wrap[]{Ax + By + Cz = D}$
\item Нормальное уравнение плоскости: $\wrap[]{(\v r - \v r_0)\cdot \v n = 0} \equiv \wrap[]{\v r \cdot \v n = D} \equiv \wrap[]{\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1}$
	\ntab Последнее - в отрезках, $a, b, c$ - точки пересечения с координатными осями. Векторные уравнения в ортонормированном базисе. В прошлом пункте $\vec n = \ss{A, B, C}$
\item Расстояние от точки $p = \ss{p_x, p_y, p_z}$ до плоскости $\alpha: A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$
	\ntab $\dst \v r = \v r_0 - \v p;\; (\v r_0 - \v p) \cdot n = d|\v n| \implies d = \frac{\wrap||{\v n \cdot (\v r_0 - \v p)}}{\wrap||{\vec n}}$ 
	\item Проекция: $\dst \v p_\alpha = \v p + d\frac{\v n}{|\v n|} = \vec p + \frac{(\v r_0 - \v p)\cdot \v n}{|\v n|^2}\vec n$
	\item Симметр. точка: $\dst \v p' = \v p + 2d\frac{\v n}{|\v n|} = \vec p + 2\frac{(\v r_0 - \v p)\cdot \v n}{|\v n|^2}\vec n$
	\item Эээ... а я прямую в пространстве уже записал выше))))
\end{itemize}
\subsection{}

\section{Уравнения прямых и плоскостей... Задачи!}
\subsection{}
\begin{itemize}
	\item метод скипа
\end{itemize}

\section{Кривые второго порядка}
\subsection{}
\begin{itemize}
	\item Эллипс - множество точек плоскости, для которых $F_1 + F_2 = const = 2a > 2c$, Где $F_1, F_2$ - расстояния до двух фокусов, $c$ - Расстояние между фокусами.
	\ntab ИЛИ: \dots, для которых $\eps = \frac f d = const < 1$
	\item вывод канонического уравнения: У меня оно в другом конспекте, я не хочу перепечатывать сейчас...
	\item $\system{x = a\cos t \\ y = b \sin t}$, где $a, b$ отвечают за растяжение эллипса по соотв. координатам
	\item Есть эллипс $\dst \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, найти Фок. расстояния. $\eps = \frac f d \implies f = \eps d; d = \wrapm{\frac a \eps \pm x}, d_{1,2} = a \pm \eps x
	\ntab \eps = \frac c a = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$
	\item Фокальное свойство: сумма фок. расст. = $const$
	\ntab Док-во: $\frac{f_1}{d_1} = \frac{f_2}{d_2} = \eps \implies f_1 + f_2 = \eps(d_1 + d_2) = \eps\wrapb{\frac a \eps - \wrapb{- \frac a \eps}} = 2a$
	\item Уравнение касательной к эллипсу: $\dst y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \implies y' = \frac{-bx}{a^2\sqrt{1 - \frac {x^2}{a^2}}} = -\frac{\frac{x}{a^2}}{\frac y{b^2}} = -\frac x y \frac{b^2}{a^2}
	\ntab y - y_0 = f'(x_0,y_0)(x-x_0) \implies yy_0-y_0^2 = \frac{b^2}{a^2}\wrapb{-xx_0 + x_0^2} \implies \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$
	\item Оптическое свойство эллипса: Фокальные радиусы составляют одинаковые углы с касательной.
	\ntab Док-во: $\sin\alpha = \frac{p_1}{f_1}, \sin\beta = \frac{p_2}{f_2}, p$: расстояние от фокуса до касательной; $f$ - от фокуса до точки касания. 
	\ntab $\dst \system{&p_1 \overset{\text{расстояние до норм. прямой}}= \frac{\wrapm{\frac{x_0}{a^2}(-c) - \frac{y_0}{b_2}\cdot 0 - 1}}{\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}} = \frac{\wrapm{x_0\eps + a}}{a\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}}\\ &d_1 = |x_0\eps + a|} \implies \sin\alpha = \frac 1 {a\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}}$
	\ntab Если провести аналогичные действия для угла $\beta$ фокуса, получится та же формула.
	\item Гипербола: множество точек плоскости, для которых разность докальных радиусов равна константе $=2a < 2c$
	\ntab ИЛИ: множество точек плоскости, для которых $\frac f d = \eps = const > 1$
	\ntab Вывод уравнения: $\frac f d = \eps = \sqrt{x^2+y^2}{|p-x|} \implies x^2+y^2 = \eps^2{p^2-2px+x^2} \implies
	\ntab \implies (\eps^2-1)x^2 - y^2 = 2px\eps^2 - p^2\eps^2 \implies(\eps^2-1)\wrapb{x^2 + \frac{2p\eps^2}{\eps^2-1}x + \frac{p^2\eps^4}{(\eps^2-1)^2}} - y^2 = -p^2\eps^2 + \frac{p^2\eps^4}{\eps^2-1} \implies
	\ntab \implies (\eps^2-1)\wrapb{x - \frac{p\eps^2}{\eps^2-1}}^2 - y^2 = \frac{p^2\eps^2}{\eps^2-1} \implies $$\dst \frac{\tilde x^2}{\frac{p^2\eps^2}{(\eps^2-1)^2}} - \frac{\tilde y^2}{\frac{p^2\eps^2}{\eps^2-1}} = 1 \equiv \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
	\item Наклонные ассимптотпы: $\dst y = b\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}; \lim_{x \to \infty}\frac y x = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac 1 {a^2} - \frac 1 {x^2}} = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac 1 {a^2} - 0} = \frac 1 a
	\ntab \lim_{x\to\infty}y - \frac x a = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} - \frac x a = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{a^2}-1 - \frac{x^2}{a^2}}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} + \frac x a} \lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\infty} = 0 \implies 
	\ntab \implies \text{ассимптота: } y = \pm \frac x a$
	\item Фокальные радиусы через абсциссу (гипербола): $f = \eps d = \eps |\frac a \eps \pm x| = |a \pm \eps x|; \eps = \sqrt{1 - \frac {b^2}{a^2}}$
	\item Директориальное Св-во гиперболы: бля я ж из него уравнение выводил... а как...
	\item Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично эллипсу
	\item Парабола: множество точек, для которых $\frac f d = 1 = \eps$
	\ntab Вывод уравнения: $\sqrt{\wrapb{x-\frac p 2}^2 + y^2} = \wrapm{x + \frac p 2} \implies y^2 = 2px$
	\item уравнение касательной: $y = \pm \sqrt{2px}, y' = \pm \frac {p}{\sqrt{2px}}, f = f'(x_0)(x-x_0) + y_0 = \frac p {y_0}(x-x_0) + y_0 \implies 
	\ntab \implies yy_0 = p(x+x_0) + y_0^2$
	\item Оптическое свойство параболы: Угол между фокусом и любой точкой равен углу между касательной к этой точке и осью симметрии параболы
	\ntab Док-во: $\dst \sin\alpha = \frac{\text{расст. от фок. до кас.} = d}{\text{фокаль. рад.} = f}; \tg\beta = f_\text{кас.}'(x) = \frac p {y_0} \implies \sin\beta = \frac 1 {\sqrt{1 + \frac{y_0^2}{p^2}}}
	\ntab f = \sqrt{\wrapb{x_0 - \frac p 2}^2 + y_0^2} = \sqrt{x_0^2 + \underbrace{y_0^2 - px_0}_{=px_0} + \frac {p^2}4} = x_0 + \frac p 2
	\ntab d = \wrapm{\frac{\underbrace{y_0^2 - px_0}_{=px_0} +p\frac p 2 - y_0 \cdot 0}{\sqrt{y_0^2+p^2}}} = \wrapm{\frac{p(x_0 + \frac p 2)}{\sqrt{y_0^2+p^2}}}
	\ntab \sin\alpha = \frac d f = \frac{p}{\sqrt{y_0^2+p^2}} = \frac 1 {\sqrt{1 + \frac{y_0^2}{p^2}}} = \sin\beta
	\hspace{7cm}\blacksquare$
	\item Полярная система координат: 
	\ntab Парабола: $\dst x - \frac p 2 = r\cos\ph,\; r = f = d x + \frac p 2 \implies r = \frac p {1 -     \cos\ph} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $
	\ntab Эллипс: $\dst x + c = r\cos\ph,\; r = f = d\eps = \eps x+a \implies r = \frac{a - \eps c}{1 - \eps\cos\ph} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $
	\ntab Гипербола: $\dst x - x = r \cos \ph, \; r = f = \eps x - a \implies r = \frac{\eps c - a}{\eps\cos\ph - 1} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $
	\ntab Для Эллипса и параболы: $p = a - \eps c$
\end{itemize}

\subsection{}
Дааа-дааа-да, проехали

\section{Поверхности второго порядка}
\subsection{}
\begin{enumerate}
	\item $\lambda x^2 + y^2 + z^2 = 1 : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ однополостной гиперболоид, ось симметрии: $Ox$ } \\
		&\lambda = 0 : \text{ цилиндр с единичной окружностью в основании, } \perp Oxy \\
		&\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид, сжатый по $Ox$ в $\sqrt\lambda$ раз}
	}$
	\item $\lambda x^2 + y^2 + z^2 = \lambda : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид, ось симметрии: $Ox$ } \\
                &\lambda = 0 : \text{ прямая } y = z = 0 \text{ (ось $x$) } \\
                &\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид, сжатый по $Oy, Oz$ в $\sqrt\lambda$ раз} \\
	}$
	\item $x^2 + y^2 - z^2 = \lambda : \system {
		&\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид, ось симметрии: $Oz$ } \\
                &\lambda = 0 : \text{ Бексонечный конус, ось симметрии: $Oz$ } \\
                &\lambda > 0 : \text{ Однополостной гиперболоид, ось симметрии: $Oz$ } \\
	}$
	\item $x^2 + \lambda(y^2 + z^2) = 1 : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид } \\
                &\lambda = 0 : \text{ Две плоскости, параллельные $Oyz$ и проходящие через $x=\pm 1$} \\
                &\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид... сжат по оси $y, z$ в $\sqrt \lambda$ раз} \\
	}$
	\item $x^2 + \lambda(y^2 + z^2) = \lambda$: Я заебался
	\item $\lambda x^2 + y^2 = z : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Гиперболический параболоид, по $Oy$ ветви вверх, по $Ox$ ветви вниз } \\
		&\lambda = 0 : \text{ парабола с ветвями вверх, растянутая перпендикулярно оси $Ox$ } \\
		&\lambda > 0 : \text{ Эллиптический параболоид, ветви вверх } \\
	}$
	\item $\lambda(x^2 + y^2) = z : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Эллиптический параболоид, ветви вниз } \\
		&\lambda = 0 : \text{ плоскость $Oxy$ } \\
		&\lambda > 0 : \text{ ЭП, ветви вверх } \\
	}$ \\
	Отныне я заебался и ввожу обозначения: 
	\ntab Э, Г, П - Эллипс(-оид), Гипербола(-оид), парабола соответственно
	\ntab ОГ, ДГ - (одно-, двух-)полостной Г
	\ntab ЭП, ГП - Эллиптический и Гиперборлический параболоид соответственно
	\ntab О - окружность, Ш - шар
	\item $x^2 + y^2 = \lambda : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Мнимая О } \\
		&\lambda = 0 : \text{ точка } \ss{0, 0} \\
		&\lambda > 0 : \text{ О с радиусом } r = \sqrt \lambda \\
	}$
	\item $x^2 - y^2 = \lambda : \system{
		&\lambda < 0 : \text{ Г, Фокусы на оси $y$ } \\
		&\lambda = 0 : \text{ Две прямых } y = \pm x \\
		&\lambda > 0 : \text{ Г, Фокусы на оси $x$ } \\
	}$
	\item $x^2 + 2y^2 -3z^2 = 1, x = \ss{0, 1, 2} : \system{
		&x = 0: 2y^2 - 3z^2 = 1  &-& \text { Г, фокусы на y } \\
		&x = 1: 2y^2 - 3z^2 = 0  &-& \text { Две прямые } z = \pm \sqrt{\frac 2 3}y  \\
		&x = 2: -2y^2 + 3z^2 = 3 &-& \text { Г, фокусы на z } \\
	}$
	\item буквально то же самое задание
	
	\item $2x^2 - y ^2 = 2z, x = \ss {0, 1, 2} : \system{
		&x = 0: z = -\frac 1 2 y^2 &-& \text { Парабола с ветвями вниз, вершина в $0$ }\\
		&x = 1: z = 1-\frac 1 2 y^2 &-& \text { То же самое, вершина в $1$ }\\
		&x = 2: z = 4-\frac 1 2 y^2 &-& \text { Вершина в $4$ }\\
	}$
	\item Бля то же самое
	\item ТО ЖЕ САМОЕ НАХУЙ
	\item $x^2 - y^2 = 1$ - Гиперболический цилиндр 
	\ntab Уравнение образующей в точке $\ss{x_0, y_0, z_0}: \system {
		&x = x_0 \\
		&y = y_0 \\
		&z = t
	}, t \in \s R$
	\item $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ - Однополостной гиперболоид. Уравнение образущей:\\
	$(x-z)(x+z) = (1 - y)(1 + y) \implies \vsystem[{
		\system{
			&k_1(x_0-z_0)=l_1(1-y_0)\\
			&l_1(x_0+z_0)=k_1(1+y_0)\\
		} \\
		\system{
			&k_2(x_0-z_0)=l_2(1+y_0)\\
			&l_2(x_0+z_0)=k_2(1-y_0)\\
		}
	}  \overset{\text{выбрать }k, l}\implies \vsystem[{
		\system{
			&a_1x + b_1y + c_1z - D_1 = 0\\
			&a_2x + b_2y + c_2z - D_2 = 0\\
		} \\
		\system{
			&a_3x + b_3y + c_3z - D_3 = 0\\
			&a_4x + b_4y + c_4z - D_4 = 0\\
		}
	} \implies \\ \overset{\v n_1 = \ss{a_1, b_1, c_1}, \v n_2 = \dots}\implies\vsystem[{
		&l_1 = \vec p + [\v n_1\times\v n_2]t \\
		&l_2 = \vec p + [\v n_3\times\v n_4]t \\
	}, t \in \s R$
	\item Прямолинейная образующая: Линия, которая целиком принадлежит поверхности второго порядка (каждая её точка принадлежит поверхности).
	Однолинейчатые: все цилиндры; Двухлинейчатые: ГП и ОГ
\end{enumerate}

\section{СЛУ, Ранг и всякая параша}
\subsection{}
\begin{enumerate}
	\item Докажите, что ОСЛУ имеет нетрив. решение $\Leftrightarrow$ столбцы основной матрицы ЛЗ
	\ntab Допустим, $\e x_1, x_2\dots$, удовл. $x_1\mathcal A_1 + x_2\mathcal A_2 +\dots = 0$. Это определение ЛЗ
	\item Докажите, что любая ЛК решений ОСЛУ является решением ОСЛУ:
	\ntab $x^kA_k = 0, y^kA_k = 0. (x^k+y^k)A_k = x^kA_k + y^kA_k = 0 + 0 = 0 \implies x + y$ - решение ОСЛУ
	\item ФСР - Базис в пространстве решений. Другими словами: Такое решение, что любое другое решение можно представить в виде ЛК ФСР.
	\ntab ФСР $x_1 + x_2 + x_3 = 0 : \mrx{x_1\\x_2\\x_3} = \mrx{0 \\ 0 \\ 0} + t\mrx{-1 \\ 1 \\ 0} + s\mrx{-1 \\ 0 \\ 1}$, базисная переменная: $x_1$, 
	\ntab общее решение: $x_1 = -x_2 - x_3 \;|\; x_2, x_3 \in \s R$
	\item Докажите, что $AX=B : X_1, X_2$ - рещения, то $X_1-X_2$ - решение $AX = 0$
	\ntab $AX_1 = AX_2 = B \implies AX_1 - AX_2 = A(X_1-X_2) = 0$
	\item $x_1 + x_2 + x_3 = 1$, Общее решение ОСЛУ: $\mrx{-1\\1\\0}t_1 + \mrx{-1\\0\\1}t$. Частное Р: $\mrx{1\\0\\0}$. 
	\ntab Общее Р: $\mrx{x_1\\x_2\\x_3} = \mrx{1\\0\\0}+\mrx{-1\\1\\0}t_1 + \mrx{-1\\0\\1}t$
	\item Алгоритм Гаусса-Жордана: Приводит матрицу системы к упрощённому виду. \\
		\texttt{
			\hspace*{0cm}	cur\_row := 0\\
			\hspace*{0cm}	for column in columns:\\
			\hspace*{1cm}		if column[cur\_base] == 0:\\
			\hspace*{2cm}			continue // find next column with non-0\\
			\hspace*{1cm}		swap\_column(find\_col(MAX\_ZEROES, from=cur\_base), column) // get col with max 0-s\\
			\hspace*{1cm}		for row in rows exclude cur\_base:\\
			\hspace*{2cm}			add\_to(dest: row, src: row, mul: -row[index(column)])\\
		}
	\item Обратная матрица по Жордану: $\b A \to \id \equiv \mathcal R(\b A) = \id \equiv \mathcal R(\id)\cdot \b A = \id \implies \mathcal R(\id) = \b A^{-1}$
	\ntab Значит, если привести $\b A$ к $\id$, а потом повторить эти действия на $\id$, получим обратную матрицу
	\item Подпространство: $\mathcal P \Subset \s K : \all \b {x, y} \in \mathcal P, \all \alpha, \beta \in \s K: \alpha \b x + \beta \b y \in \mathcal P$
	\ntab Размерность: $\e n \in \s N \all k, k > n \all \b x_1, \dots, \b x_k$ - ЛЗ (пр-во конечномерное) $\Rightarrow$ $n$ -размерность $\mathcal V$
	\ntab Базис: Семейство ЛН векторов в пр-ве $\mathcal P$, таких, что $\all x \in \mathcal P = \text{ЛК} \ss{\b e_1, \dots, \b e_n}$
	\item Доказать, что размерность ЛО строк $\dim L(\b A_1, \dots, \b A_n)$ - инварианта ЭП
	\ntab Для перестановки строк: $\dots a_nx_n, a_{n+1}x_{n+1} \dots \to \dots a_nx_{n+1} a_{n+1}x_n \dots$ - поскольку $a_n, a_{n+1}$ берутся из $\s K$, линейная оболочка не меняется
	\ntab Для умножения строки на число: $\dots a_nx_n \dots \to \dots \lambda a_n'x_n \dots$ - если брать $a_n' = \frac{a_n} \lambda$, ЛК не изменятся
	\ntab $a_n \to a_n + \lambda a_m$
	\ntab Другое док-во: Т.к. $A'$ - ЛК $A$, то $\mathcal L(A_1',\dots) \subset \mathcal L(A_1, \dots)$. 
	\ntab В силу обратимости, $\mathcal L(A_1',\dots) \supset \mathcal L(A_1, \dots)$. Тогда $\mathcal L = \mathcal L'$
	\item Доказать то же самое, но для столбцов: 	
	\ntab Если доказать, что при ЭП сохраняется линейная (не)зависимость столбцов (1): выделим максимальное семейство ЛН столбцов: Они сохранят ЛН, если добавим к семейству любой другой столбец, мы сохраним ЛЗ - получается,
		$\max$ кол-во ЛН столбцов сохраняется, тодга $\dim\mathcal L = \dim\mathcal L'$
	\ntab Докажем (1): пусть $A_n$ - ЛН, $A_n'$ - ЛЗ, тогда $\e \alpha^n : \alpha^nA_n' = 0 = \alpha^n\mathcal (R(\id)A_n) = \mathcal R(\id) (\alpha^nA_n) = 0$.
	\ntab Домножая на $C^{-1}$ слева получаем, $\alpha^nA_n = 0$, что противоречит ЛН столбцов $A$
		
\end{enumerate}

\end{document}
