From af9371e31497b02abd0b5602c8220816ce03ffcb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: justanothercatgirl <sotov@twistea.su>
Date: Wed, 8 Jan 2025 17:33:12 +0300
Subject: commit 2

---
 2025mech.tex | 487 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 361 insertions(+), 126 deletions(-)

(limited to '2025mech.tex')

diff --git a/2025mech.tex b/2025mech.tex
index 4f34b3d..78b62f9 100644
--- a/2025mech.tex
+++ b/2025mech.tex
@@ -1,43 +1,126 @@
-\documentclass{article}
+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{fontspec}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsfonts} 
+\usepackage{wrapfig}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{pifont}
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+\renewcommand{\d}{\partial}
+\usepackage[margin=0.4in]{geometry}
+\setmainfont{FreeSans}
+\graphicspath{ {../images} }
+%\everymath{\displaystyle}
+
+\DeclareMathOperator{\divergence}{div}
+\DeclareMathOperator{\gradient}{grad}
+\DeclareMathOperator{\rotor}{rot}
+
 
 \begin{document}
 
+Билет 1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона.
+Система координат и тело отсчета. Часы. Система отсчета. Эталоны
+длины и времени.
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Механика - Наука, изучающая движение и равновесие [частей] тел; основная задача механики - получение законов разных видов движения. 
+	\item Пространство - геометрическая модель материального мира, aобладает свойствами: трёхмерное, однородное, изотропное, евклидное (в $[10^{-35}, 10^{26}]$м
+	\item Время - непрерывная физическая величина, измеряемая сравнением с определённым эталоном. Обладает свойством однонаправленности и необратимости, равномерности
+	\item Система координинат - совокупность $N [=3]$ линейно независимых осей, пересекающихся в одной точке. 
+	\item Тело отсчёта - тело, относительно которого рассмтривается движение тел.  
+	\item Часы - прибор измерения времени, основан на сравнении с "эталоном" - периодическим процессом
+	\item Система отсчёта - совокупность (Системы координат; Тела отсчёта; Набора часов в разных точках пр-ва). 
+	\item Эталон секунды - $9\,192\,631\,770$ колебаний элмаг излучения ($\leftarrow$переход между 2 урoвнями $Cs_{133}$),
+		Метра - Длиина пути света в вакууме за $\frac{1}{299\,792\,458}$с
+\end{itemize}
+
+
+
+Билет 2. Кинематика точки и системы материальных точек. Способы описания
+движения. Уравнение кинематической связи. Закон движения.
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Кинематика - раздел мех., движение тел - \cmark, причины движения - \xmark
+	\item Описание движения: 
+		Ествественный способ: траектория $L$ + начало $O$ + положение на $L$  =$s(t)$; 
+		\textit{закон} движения [координатный/векторный]: $\vec r(t) \equiv \{x(t); y(t); z(t)\}$;
+		графический
+	\item Уравнение кинмат. связи - Уравнение, связывающее кинемат. характеристики ($\vec r,\,\vec v,\,\vec a$)
+\end{itemize}
+
+
+
+Билет 3-4. Инерциальные системы отсчета (ИСО). Преобразования Галилея и их
+следствия. Возможность использования Земли как ИСО. Эксперименты,
+показывающие неинерциальность Земли. Законы динамики. Понятия массы, импульса и силы в механике Ньютона.
+Первый, второй и третий законы Ньютона. Уравнение движения и его
+решение. Роль начальных условий
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Масса: мера количества вещества(материи), содержащегося в теле. Она аддитивна и инвариантна.
+		Эталон: 1кг = масса цилиндра на 90\% платины, 10\% иридия высотой и диаметром 39 мм. Точность: $10^{-8}$
+	\item Испульс: Мера количества двжиения $\vec p = m\vec v$. Закон движения тогда $\dot{\vec p} = \vec F$
+	\item Сила: мера взаимодействия тел. Единица силы: 1Н: Такая сила, которая массе 1кг придаст ускорение 1м/$c^2$.
+		1Н = $\frac{kg\cdot m}{c^2}$
+	\item Первый закон ньютона: $\exists$ ИСО такие, что Мат. Точка, на которую не действуют силы (или $\sum \vec F=0$), находится в покое или в равномерном прямолинейном движении
+		\subitem (Такая мат. точка называется изолированной)
+	\item Второй Закон Ньютона: Ускорение тела порп. равнод. силе, совпадает с ней по направлению и обратно проп. массе: $\vec F = m\vec a$
+	\item Третий: Силы возникают парами, они приложены к взаимод. телам, равны по модулю, противоп. по направлению, 
+		одной природы и действуют вдоль одной прямой
+	\item Принцип относительности Галилея: $\forall$ мех. явления подчиняются одним законом в $\forall$ ИСО	
+	\item Преобразования Галилея: ИСО $S'$ движется относ ИСО $S$ по оси $x$ со скоростью $v$. тогда 
+		$\left\{\begin{aligned}\vec r &= \vec r' + \vec u t \\ t &= t'\end{aligned}\right.$ 
+	\item Маятник Фуко: поворачивается вокруг своей оси вращения \\
+		Допустим он на северном полюсе. Тогда уравнение моментов: 
+		$J\ddot {\vec\alpha} = m \vec l \times \vec g -  2 m [\vec l \times [\vec \Omega \times [\vec l \times \vec \omega]]]$ \\
+	\item Отклонение падающих тел к Востоку: $l_0 = \frac 2 3 \omega h \sqrt{\frac{2h}{g}}$. для $h = 100$м, $l_0 \approx 2.2$см $\approx 2\%$
+\end{itemize}
+
+
 Билет 5. Законы, описывающие индивидуальные свойства сил. Закон всемирного
 тяготения. Закон Гука. Законы для сил сухого и вязкого трения. Явление
 застоя. Явление заноса.
-\begin{enumerate}
-	\item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_\max$, чтобы привести груз
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_{\max}$, чтобы привести груз
 	в движение (задача с затухающими колебаниями на шероховатой доске)
 	\item явление заноса: при движении тела, перпендикулярная сила трения покоя =0 
 	(задача: на ленте лежит груз, груз на пружине и стоит на месте, лента под ним едет, 
 	тогда сколь угодно малая сила $\perp$ движению сместит груз. Если бы лента не двигалась,
 	такого бы не было)
-\end{enumerate}
+	\item
+\end{itemize}
 
 
 Билет 6. Система материальных точек. Число степеней свободы системы.
 Изолированная и замкнутая системы материальных точек. Закон
 сохранения импульса.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
 	\item Число степеней свободы: Количество независимых переменных, необходимых для
 	однозначного задания состояния системы. Пример: Мат. точка - 3, $(x, y, z)$;
 	Аб. твёрд. тело - 6, $(x, y, z, \alpha, \beta, \gamma)$.
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 7. Центр масс. Теорема о движении центра масс.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
 	\item Центр масс системы: $\vec r = \frac 1 M \sum_i^n m_i \vec r_i$ - такая  точка, которая,
 	имея массу, равную суммарной массе системы, при движении со скоростью $\vec v$ 
 	(скорость центра масс) имеет такой же импульс, как система материальных точек
 	\item $M\vec r = \sum_i^n m_i \vec r_i \implies M\vec v = \sum_i^n m_i\vec v_i \implies 
 	P = M\vec v.\\ \vec F=\frac{d\vec P}{dt} \implies M\vec a = \vec F$, где $\vec a$ - ускорение 
 	центра масс, $\vec F$ - равнодействующая сил, действующих на систему
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 8, 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского (8). Формула циолковского (9).
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
 	\item Движение тел с $M \not = const$. Пусть $M(t), v(t)$ - ракета, $u=const$ - топливо. \\
 	$Mv = (M+dM)(v+dv) + (-dM)(v-u),\;(dMdv << 1)\; \implies Mdv+udM = 0;\; 
 	M\frac{dv}{dt} = -u\frac{dM}{dt};\;\mu = -\frac{dM}{dt};\;\vec F = -\mu\vec u$ (последнее просто определили) \\
@@ -50,14 +133,15 @@
 	$\displaystyle Mdv + udM = 0 \implies \frac{dM}M = -\frac{dv}u
 	\int_{M_0}^M \frac{dM}M = -\int_{v_0}^v \frac {dv} u;\; \ln\frac{M}{M_0} = -\frac{v-v_0}{u}$ \\
 	$v = v_0 - u\ln\frac M{M_0}$ - Формула Циолковского, которая позволяет оценить конечную скорость ракеты
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 10-11. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии.
 Консервативные силы и системы. Потенциальная энергия. (10). 
 Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон изменения и сохранения 
 механической энергии (11)
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
 	\item $\delta A = \vec Fd\vec r = Fdr\cos\alpha;\;A=\int_1^2\vec F d \vec r \\
 	\delta A = m\frac{d\vec v}{dt}dr = d\left(\frac{mv^2}2\right) \\
 	A = \int_1^2 \vec F d\vec r = \int_1^2 d\left(\frac{mv^2}2\right) = 
@@ -78,352 +162,503 @@
 	\end{aligned}\right.$
 	\item Набла и градиент: $dA = \vec F d \vec r = -dU = 
 	(F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k)(dx\vec i + dy\vec j + dz\vec k) = 
-	-\left(\frac{\partial U}{dx}dx + \frac{\partial U}{dy}dy + \frac{\partial U}{dz}dz\right) \\
+	-\left(\frac{\d U}{dx}dx + \frac{\d U}{dy}dy + \frac{\d U}{dz}dz\right) \\ 
 	\vec F = - \nabla U [= -grad U]$ - такое поле называется потенциальным. Стационарное поле: 
-	$F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy +\frac{\partial U}{\partial z}dz$
+	$F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\d U}{\d x}dx + \frac{\d U}{\d y}dy +\frac{\d U}{\d z}dz$
 	\item Полная механическая энергия: В поле консерв: $A_{full} = A + A_{ext},\;A=\Delta W_p 
 	\implies \Delta W_k = \Delta W_p + A_{ext}\quad(1)$ \\ 
 	$W = W_k + W_p$, $W_2 - W_1 = A_{ext} = $ работа внешних сил\quad $(2)$ \\
 	$(1), (2) \implies \Delta W = A_{ext}$ - закон изменения механической энергии \\
 	Если сторонние силы не совершают работу или отсуствуют, то полная механическая энергия в поле
 	консервативных сил не изменяется $E = const,\;\frac{dE}{dt} = 0$
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 12. Соударения тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
 Законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса
 при соударениях тел.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
+	
+\end{itemize}
 
 
 Билет 13. Неинерциальные системы отсчета. Движение материальной точки
 относительно неинерциальной системы отсчета. Силы инерции. Переносная
 и кориолисова силы инерции. Центробежная сила инерции.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 14. Кориолисова сила инерции. Примеры ее проявления на Земле.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item примеры: 
+		Река, текущая с севера на юг в сев. полушарии (и не на экваторе), имеет западный берег выше восточного; \\
+		Маятник Фуко изменяет плоскость своих колебаний за счёт силы кориолиса; \\
+		Тело, отпущенное с высоты и падающее на землю, будет лететь не к центру земли, а немного на восток
+\end{itemize}
 
 
 Билет 15. Кинематика абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное
 движение твердого тела. Плоское движение. Угловая скорость и угловое
 ускорение. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item Поступательное: $\forall$ точки движутся по $\parallel$ траекториям
+	\item Вращательное: $\forall$ точки движутся по окружностям $\perp$ оси вращения с общим центром на оси вращения
+	\item Плоское: траектории $\forall$ точек лежат в $\parallel$ плоскостях 
+	\item Мгновенная ось вращения: такая ось, вокруг которой плоское движение
+		можно представить только как вращательное (ось, относительно которой
+		плоско движущееся тело не двигается поступательно)
+	\item Теорема Эйлера: Если твёрдое тело закреплено в одной точке, то оно может быть
+		переведено из одного положения в $\forall$ другое одним поворотом вокруг неподвижной
+		оси $\subset$ точку закрепления. Значит, $\forall t \exists O$ - мгновенная ось вращения. 		
+\end{itemize}
 
 
 Билет 16. Уравнение моментов для вращательного движения твердого тела
 вокруг закрепленной оси. Момент инерции относительно оси и приёмы
 его вычисления. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+		\item $J = \int \rho^2dm$. Для шара: $dm = \frac m V r^2 \sin\theta drd\varphi d\theta;\,\rho=r\sin\theta 
+			\implies J = \frac m V \int_0^Rr^4dr\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin^3\theta d\theta = \frac 2 5 mR^2$ \\
+			Для плоской фигуры: $x, y \in shape \implies dJ_z = (x^2+y^2)dm = dJ_x + dJ_y$
+	\item Теорема Г-Ш: Пусть есть 2 оси, одна через Ц.М., вторая параллельна ей.
+		Момент инерции относ. оси 2: $J=\sum_i \Delta m_i \rho_i^2 = 
+		\sum_i \Delta m_i (\vec R_i - \vec a)^2 = 
+		\sum_i \Delta m_i R_i^2 + \sum_i \Delta m_i a^2 - 2\vec a\sum_i\Delta m_i \vec R =
+		J_0 + ma^2 + 0 = J_0 + ma^2$
+\end{itemize}
 
 
 Билет 17. Теорема Кёнига. Кинетическая энергия твердого тела при плоском
 движении.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item Т-ма кёнига: Связывает кин. Энегрии между системами отсчёта: $W_k = W_0 + W'$,
+		т.е. кин. энергия = сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в движении относительно ц.м.
+	\\ Вывод: 
+	$v' = u+v, W = \sum_i \frac{m_i{v'}_i^2}{2} = \frac 1 2 \sum_i m_i (\vec v + \vec u)^2 = 
+		\frac {mv^2}2^{[=W_0]} + \vec v \sum_i m_i \vec {u_i}^{[=0]} + \frac 1 2 \sum_i m_i {u_i^2}^{[=W']}$
+	\item По теореме Кёнига, при плоском движении $W_k = W_0 + W' = \frac{mv^2}2 + \frac{J\omega^2}2$
+\end{itemize}
 
 
 Билет 18. Момент импульса материальной точки. Момент силы. Закон
 сохранения момента импульса для материальной точки.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item $\vec L=\vec \omega J$
+	\item $\sum\vec M=0\implies\vec L = const$
+\end{itemize}
 
 
 Билет 19. Движение абсолютно твердого тела с закрепленной точкой. Тензор
 инерции. Осевые и центробежные моменты инерции.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 20. Главные и центральные оси вращения. Силы и моменты сил, действующие
 на вращающееся твердое тело. Свободные оси вращения.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 21. Гироскопы. Прецессия гироскопа. Угловая скорость вынужденной
 прецессии. Уравнение (формула) гироскопа. Гироскопические силы.
 Правило Н. Е. Жуковского. Волчки.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 22. Динамика твердого тела. Уравнение движения центра масс и уравнение
 моментов. Динамика плоского движения твердого тела.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 23. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение
 гармонических колебаний. Его решение. Пружинный и математический
 маятник. Механическая энергия системы, совершающей свободные
 колебания.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 24. Свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний. Частота
 и период колебаний. Фаза и начальная фаза. Начальные условия.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 25. Сложение гармонических колебаний. Биения. Частота биений. Фигуры
 Лиссажу.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 26. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний, его решение.
 Показатель затухания. Логарифмический декремент затухания. Время
 релаксации. Добротность.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 27. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его
 решение. Процесс установления колебаний.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 28. Резонанс. Амплитудная резонансная кривая. Ширина амплитудной
 резонансной кривой и добротность.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 29. Понятие о нелинейных колебаниях. Параметрическое возбуждение
 колебаний. Автоколебания. Релаксационные колебания.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 30. Связанные колебательные системы. Нормальные колебания (моды) и
 парциальные колебания. Нормальные и парциальные частоты.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 31. Волны. Распространение «импульса» в среде. Продольные и поперечные
 волны. Уравнение бегущей волны. Скорость волны и скорости «частиц».
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 32 (34). Волновое уравнение, его решение. Плоская гармоническая бегущая
 волна. Волны смещений, скоростей, деформаций.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 33. Волны на струне, в стержне, в газовой среде. Связь скорости волны со
 свойствами среды.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 35. Стоячие волны. Распределение амплитуд смещений, скоростей и
 деформаций «частиц» в стоячей волне. Узлы и пучности.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 36. Нормальные колебания струны, стержня, столба газа. Акустические
 резонаторы, резонаторы Гельмгольца.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 37.Элементы акустики. Звуковые волны. Высота и тембр звука. Громкость
 звука.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 38. Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова. Интенсивность волны.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 39. Движение со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны. Конус Маха.
 Число Маха.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 40.Классический эффект Доплера.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 41.Основные понятия теории относительности. Пространство и время в
 релятивистской механике. Два постулата Эйнштейна. Синхронизация
 часов.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 42. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований Лоренца.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 43. Собственная длина и собственное время. Лоренцево сокращение длины
 движущихся отрезков. Релятивистское замедление темпа хода движущихся
 часов.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 44. Событие в специальной теории относительности. Интервал между
 событиями. Инвариантность интервала. Свето-подобные, времени-
 подобные и пространственно-подобные интервалы.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 45. Относительность одновременности. Интервал между событиями.
 Причинно-следственная связь между событиями. Скорость света как
 максимальная скорость распространения сигналов.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 46. Сложение скоростей в релятивистской механике.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 47. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения. Понятие о
 сопутствующей системе отсчета.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
 Билет 48. Энергия частицы в релятивистском случае. Связь энергии, импульса и
 массы.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	\item
 
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 
-Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая и
-остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига,
+Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая
+и остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига,
 кручения, изгиба. Количественные характеристики деформаций.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Деформация - вшен. воздействие $\rightarrow$ изменение взаимного расположения материальных точек тела $\rightarrow$ искажение формы, размера, появление напряжений
+	\item Упругие деф.: полностью исчез после прекращения действия сил; Неупругие: остаются; Остаточные [пластические]: те, что остались.
+	\item Типы деформаций: растяжение, сдвиг, кручение, изгиб; элементарные: растяжение, сдвиг (остальлные: суперпозиция). 
+
+		Растяжение: 
+			$\Delta l = l - l_0$ - абсолютное удлинение; 
+			$\varepsilon_{\parallel} = \frac {\Delta l}{l_0}$ - относ. удл.; 
+			$\varepsilon_\perp = \frac{\Delta d}{d}$; 
+			$\mu = -\frac {\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel} > 0$ - Коэффициент Пуассона;
+			$\sigma = E\varepsilon_\parallel$ - закон гука; \\
+		На графике $\sigma(\varepsilon)$: предел проп $\rightarrow$ предел упругости $\rightarrow$ предел текучести $\rightarrow$ предел прочности $\rightarrow$ разрыв \\
+		$V' = l'd'^2 \approx V(1+\varepsilon_\parallel + 2\varepsilon_\perp) \implies \frac{\Delta V}{V} \approx \varepsilon_\parallel(1-2\mu)$; $\mu \in \left(0; \frac 1 2\right)$
+
+		Сдвиг: $\tau = G\gamma\quad[\gamma = \tan\alpha]$ - модуль сдвига;
+
+		Кручение: $M = f\varphi,\quad f = \frac{\pi G R^4}{2l}$ - модуль кручения
+
+		Изгиб:
+		$u(l) = \frac {Fl^3}{3EJ}$ - стрела прогиба
+	\item Количественные характеристики деформаций: 
+		$E$ - модуль упругости (Юнга) $\sim 10^7$ для металлов, 
+		$G$ - модуль сдвига $\sim 10^6$ для металлов, 
+		$f$ - модуль кручения, 
+		$u$ - стрела прогиба
+\end{itemize}
 
 
 Билет 50. Закон Гука для различных видов деформаций. Модуль Юнга.
 Коэффициент Пуассона. Модуль сдвига. Связь между модулем Юнга и
 модулем сдвига (формула с пояснением).
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}
+	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Закон гука: относительная деформация $\varepsilon \propto \sigma$ - напряжениям; $\sigma = \varepsilon E;\; \sigma_\tau = \gamma G$
+	\item Модуль Юнга(упругости) - $E = \frac 1 \chi$ - обратный коэфф. пропорциональности; $[E]$=Па
+	\item Модуль сдвига - $G$ - то же самое, но связывает $\gamma = \tan\alpha$ с $\sigma_\tau$
+	\item К. Пусассона: $-\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel}$
+	\item Связь модуля Юнга и Сдвига: [Вывод: Алешкевич 259] $G = \frac E {2(1+\mu)}$. 
+		Непонятки!: $\tan\left(\frac \pi 4 + \beta\right) \approx 1 + \frac 1 {\cos^2\frac \pi 4}\beta = 1 + 2\beta$.  \\
+		Сам Алгоритм вывода: Рисуем куб, внутри него ромб, начинаем куб растягивать. Надохим связь растяжения и угла сдвига ромба (тут угол $\ll$1, $\tan(\frac\pi 4 + \alpha)\rightarrow1+2\alpha$)
+		, потом выражаем угол сдвига через $\varepsilon,\,\mu$, рисуем как напряжение передаётся на грани ромба с граней куба, находим связь $\\\sigma = 2\sigma_\tau$
+		, получаем формулу, profit
+\end{itemize}
 
 
 Билет 51. Энергия и объемная плотность энергии деформированного твердого тела.
-\begin{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item $dA = fdx = \sigma l^2 dx = [d\varepsilon = \frac {d(\Delta l)}l = \frac {dx}l] =\sigma l^3 d\varepsilon \implies A_\varepsilon = l^3\int_0^\varepsilon\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ \\
+		Аналогично $A_\gamma = l^3\int_0^\gamma \sigma_\tau(\gamma)d\gamma$ 
+		т.к. $\sigma(\varepsilon)$ не линейна в общем случае, то мы берём интаграл. 
+		Для линейного случая: $A = \frac{E\varepsilon^2}2l^3 = \frac{G\gamma^2}2l^3$, объёмная плотность $w=\frac A {l^3}$ \\
+		В общем виде: $\exists$ Упругий гистерезиз: петля остаточных деформаций, и её площадь равна работе, затраченной на нагревание
+\end{itemize}
 
-\end{enumerate}
+
+Просто на всякий случай вывод уравнения эйлера для Идеальной жидкости (ПО ЯКУТЕ??): \\
+рассмотрим цилиндр жидкосaти:\\
+$
+	dD_x $(сила давления)$ = dS(p(x) - p(x+dx)) = -\frac{\d p}{\d x}dSdx
+	= -\frac{\d p}{\d x}dV \implies d\vec D = -\nabla p dV \\
+	dm\frac{d\vec v}{dt} = d\vec F + d\vec D\hspace{1cm}/dV\implies \frac{dm}{dV}\frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec F}{dV} - \nabla p \\
+	\rho \vec a = \vec f - \nabla p. \hspace{1cm} $Если в равновестии: $ \vec a = \vec 0 \implies 
+	f = \nabla p
+$
+
+А теперь вывод уравнения (ПО АЛЕШКЕВИЧУ):
 
 
 Билет 52. Основы гидро- и аэростатики. Давление и сила давления. Основное
 уравнение гидростатики. Закон Паскаля. Гидравлический пресс.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	
+	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item Давление $p_{ij}=-\sigma_{ij}$
+	\item Закон паскаля: $\forall \{x,y,z,\alpha,\beta,\gamma\}:p = const$, или словами:
+		В покоящейся жидкости во всех точках и во всех направлениях давление постоянно.
+		Доказательство: условие равновестия кубика (противоположные грани) + треугольника (соседние грани)
+	\item Силы давления: это давление умноженное на площадь поверхности, к которой они приложены
+	\item Гидравлический пресс: есть 2 соединённых трубки разной толщины. по закону паскаля $F_1S_1 = F_2S_2 = const 
+		\implies F_2 = \frac{S_1}{S_2}F_1$
+	\item основное уравнение гидростатики: пусть на кубик действует сила $\vec fdV$.
+		Для равновесися: $p(x,y,z)dydz-p(x+dz,y,z)dydz+f_xdxdydz = 0 \implies 
+		-\frac{\d p}{\d x} + f_x = 0;
+		-\frac{\d p}{\d y} + f_y = 0;
+		-\frac{\d p}{\d z} + f_z = 0;
+		\\
+		-\nabla p + f = 0,\quad$ (а если F консервативная, то...) $F = -\nabla U \implies \nabla (p + U) = 0 \implies p + U = const$
+	\item Давление в поле силы тяжести: $F = mg \implies f = \rho g. U(x) = -\rho gx + const \implies p(x) = \rho gx + const = \rho gx + p_0$ - атмосферное давление
+		При вращении сосуда: $U(x, r) = -\rho gx - \frac 1 2 \omega^2 r^2 + const \implies p(x,r) = p_0 + \rho gx + \frac 1 2 \rho\omega^2 r^2$
+\end{itemize}
 
 
 Билет 53. Распределение давления в покоящейся жидкости (газе) в поле силы
 тяжести. Барометрическая формула.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item $\vec f = \nabla p$
+	\item В жидкости: [см прошлый билет]
+	\item В газе: $\rho = \frac{\mu P}{RT}; \frac{\d p}{\d x} = - \rho g = -\frac{\mu P}{RT}g.
+	\quad T = const \implies P = P_0e^{-\frac{\mu g}{RT}x} = P_0 e^{-x/H}$ - это и есть барометрическая формула. $H$ - высота изотермической плотности
+\end{itemize}
 
 
 Билет 54. Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел. Центр
 плавучести и метацентр.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Сила архимеда действует на центр масс вытесненной жидкости (центр плавучести) 
+		и по сути является равнодействующей сил давления
+		$\sum_i f_i\Delta S_i = -\sum_ip_i\Delta S_i \vec{n_i}$. Более простой способ посчитать силу:
+		$\vec{F_A} = -m\vec g$, где $m$ - масса заменённой жидкости
+	\item Метацентр: Центр кривизны линии, образованной центрами плавучести коробля при креновании
+	\item условия плавучести: $F_A > mg$; остойчивости под водой: ц.м. ниже ц.плавучести; остойчивости на воде [корабля]:
+	метацентрическая высота $OM > 0$. По госту для торговых судов $> 0.15$м, пассажирских $> 0.2$м
+	\item Крен, дифферент, малый и большой метацентр
+\end{itemize}
 
 
 Билет 55. Стационарное течение жидкости (газа). Линии тока. Трубки тока.
 Идеальная жидкость. Течение идеальной жидкости. Уравнение
 Бернулли, условия его применимости.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Стационарное течение: такое, в котором поле скоростей не зависит от времени, а только от координаты
+	\item Линия тока: $\forall$ точкa: касательная $\supset$ вектор скорости частицы в данной точке
+	\item Трубка тока: Поверхность, образованная линиями тока через замкнутый контур
+	\item Идеальная жидкость: при любых движениях $\not\exists \sigma_\tau$ (кас. напряжения)
+	\item Течет так (одномерно): $m = \rho_1v_1S_1 = \rho_2v_2S_2;\;\rho=const \implies V=v_1S_1=v_2S_2 
+	\equiv \frac{\d v_x}{\d x} + \frac{\d v_y}{\d y} +\frac{\d v_z}{\d z} = 0
+	\equiv \divergence \vec v = 0$ (условие несжимаемости) \\
+	$\rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + v_x\frac{\d v_x}{\d x}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f
+	\equiv \rho \left(\dot{\vec v} + \vec v \nabla \vec v\right) = \vec f - \nabla p$
+
+	Вывод: $\rho \dot{v_x} = -\frac{\d p}{\d x} + f_x $ (II з.Н.) $
+	\implies [dv_x = \frac{\d v_x}{\d t}\d t + \frac{\d v_x}{\d x}\d x] 
+	\implies \rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + \frac{\d v_x}{\d x}\frac{\d x}{\d t}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f$
+	\item Уравнение бернулли: частный случай: $\frac{\d v_x}{\d t}=0 \land f_x=0 \implies 
+	\rho v_x \frac{dv_x}{dx} = -\frac{dp}{dx} \implies \frac{d}{dx}\left(\frac{pv_x^2}2 + p\right) = 0 \implies \\
+	\implies \frac{\rho v_x^2}2 + p = const$ \\
+	Общий вид: $\exists$ рандомная трубка, введём криволин. координату l вдоль неё. у. Эйлера: $\rho v \frac{dv}{dl} = -\frac{dp}{dl} + \rho g \cos\alpha
+	\stackrel{[\cos\alpha = -\frac{dh}{dl} \text{(геометрия)}]}\implies \rho \frac{d}{dl}\left(\frac{v^2}2\right) + \frac{dp}{dl} + \rho g\frac{dh}{dl} = 0
+	\stackrel{[\rho=const]}\implies \frac{d}{dl}\left(\frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh\right) = 0 \implies
+	\\\implies \frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh = const$ (Уравнение бернулли) \\
+	$p$ - статическое давление; $\frac{\rho v^2}2$ - динамическое давление
+	\item уравнение бернулли можно применять, если жидкость идеальная, течение стационарное,
+	сечения потока плоские и $\perp v_{\text{частиц}}$; если жидкость сжимаемая, то $\Delta p=const \land dT = 0 \land $ течение неразрывное
+\end{itemize}
 
 
 Билет 56. Сила вязкого трения. Закон Ньютона для вязкого трения. Вязкость.
 Число Рейнольдса.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item Сила, которая появляется из-а относительных движений слоёв жидкости. Каждый слой действует на соседние, "усредняя их скорость"
+	\item Экспериментально установлено (Ньютоном): при движении 2 паралл. пластинок относ. друг друга в жидкости сила сопротивления 
+	$F \propto S, v, \frac 1 h \implies F = \eta\frac{Sv}h$, но только если $h \ll \sqrt S$. Обусловлено тем, что
+	слои жидкости "увлекают" друг друга за собой 
+	\item см. билет 58
+\end{itemize}
 
 
 Билет 57. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Формулы Пуазейля: расссотрим бесконечно маленький цилиндр в трубе. 
+		$F_\text{тр.} = \eta S \frac{\d v}{\d r} = 2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r}$. Т.к.
+		течение стационарное ($v=const$), сила трения уравновешивается силой
+		разницы давлений $F_g = \pi r^2 (P(x) - P(x+dx)) = -\pi r^2 \frac{dP}{dx}dx$ \\
+		$2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r} = \pi r^2 \frac{dP}{dx}dx \stackrel{\frac{dP}{dx} = \frac{\Delta P}l}
+		\implies 2\eta\frac{\d v}{\d r} = r \frac{dP}{dx} \implies 2\eta dv = \frac{\Delta P}l\int_r^Rrdr = \frac{\Delta P}l\frac{R^2-r^2}2\\$
+		$v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta l}(R^2-r^2)$. \\
+	\item Теперь получим Поток вектора скорости через трубку тока (или объёмный расход жидкости): \\
+		$Q_v = \int vdS = \int_0^R v(r)2\pi rdr = \frac{\pi R^4}{8\eta}\left(-{\frac{dP}{dx}}^{\left(=\frac{\Delta P}{l}\right)}\right) 
+		= \frac{\pi R^4 (P_1-P_2)}{8\eta l}$
+\end{itemize}
 
 
 Билет 58. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса.
 Парадокс Даламбера. Лобовое сопротивление при обтекании тел.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}
+	\item Ламинарное течение: жидкость движется слоями параллельно направлению течения, без перемещивания
+	\item Турбулентное течение: частицы соверщают хаотичное движение.
+	\item Число Рейндольса $Re = \frac{\rho v R}\eta$ Позволяет оценить ламинарность/турбулентность течения.
+		Определяется как отношение $W_\text{кин.}\text{ к }W_\text{пот.}$
+	\item Парадокс Даламбера: Пусть есть шар в потоке. Если пользоваться уравнением Бернулли, то получается, 
+		что линии тока просто обтекают шар и на него не действуют никакие силы (из соображений симметрии).
+	\item На самом деле $\exists F_{\text{лоб. сопр.}} = C_x(Re)\frac{\rho v^2}2S$, где 
+		$C_x(Re)$ - зависимость коэффициента от числа Рейндольса
+	\item $Re \ll 1$: Ламинарное; $Re \sim 10$: первая (2 вихря), вторая (вихревая дорожка Кармана, вихри отрываются) стадии неустойчивости;
+		$Re > 100$: развитая турбулентность
+\end{itemize}
 
 
 Билет 59. Циркуляция скорости. Подъемная сила. Формула Жуковского. Эффект
 Магнуса.
-\begin{enumerate}
-
-\end{enumerate}
+\begin{itemize}	\setlength\itemsep{0cm}	
+	\item циркуляция скорости: $\Gamma = \oint_L\vec vd\vec l$
+	\item Подъёмная сила: $dF = (P_\text{снизу} - P_\text{сверху})Ldl$. Через
+		Ур-е бернулли: \\ $P_\text{Н}-P_\text{В} = \frac \rho 2 (v_\text{в} - v_\text{н})
+		(v_\text{в}+v_\text{н}) \stackrel{v_\text{в}+v_\text{н} \approx 2v} \approx
+		\rho v \Delta v; F = \int P_\text{Н} - P_\text{В}Ldl = \rho vL\oint{\Delta v}dl
+		= \rho v L \Gamma$ \\
+		Итак, формула жуковского: $\frac F L = \rho v \Gamma$
+	\item Эффект Магнуса: в вязкой жидкости $\vec F \parallel [\vec \omega \times \vec v]$
+\end{itemize}
 
 \end{document}
-- 
cgit v1.2.3-70-g09d2

