From b7382476afe231ec4581eb311971ab7e3432704f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: justanothercatgirl <sotov@twistea.su>
Date: Sun, 12 Jan 2025 19:55:21 +0300
Subject: commit 5

---
 2025math.tex | 347 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 328 insertions(+), 19 deletions(-)

(limited to '2025math.tex')

diff --git a/2025math.tex b/2025math.tex
index 3dcc7da..23ae3b5 100644
--- a/2025math.tex
+++ b/2025math.tex
@@ -10,26 +10,33 @@
 \usepackage[margin=0.4in]{geometry}
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
 \newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
-\newcommand{\s}{\mathbb}
-\newcommand{\e}{\exists}
-\newcommand{\all}{\forall}
+\newcommand\s\mathbb
+\newcommand\e\exists
+\newcommand\all\forall
 \newcommand{\ulim}{\mathop{\overline\lim}\limits}
 \newcommand{\llim}{\mathop{\underline\lim}\limits}
 \newcommand{\exclreg}[2]{\overset\circ\Omega_{#1}({#2})}
 \newcommand{\mrx}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
 \newcommand{\system}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}
+\newcommand{\at}[2]{\left.{#1}\right|_{#2}}
+\newcommand{\from}[3]{\left.{#1}\right|_{#2}^{#3}}
 \newcommand{\reg}[2]{\Omega_{#1}({#2})}
+\newcommand\dst\displaystyle
+\newcommand{\dlim}[1]{\lim_{\Delta #1 \to 0}}
 \newcommand\eps\varepsilon
+\newcommand\D\Delta
+\newcommand\Dx{\Delta x}
+\newcommand\Dy{\Delta y}
 \newcommand\ph\varphi
-\newcommand\dst\displaystyle
+\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}}
 \newcommand\exclude\setminus
 \newcommand\rab\underline
-\newcommand{\rrab}[1]{\underline{\underline{#1}}}
-\renewcommand{\d}{\partial}
 \newcommand{\bbar}[1]{\overline{\overline{#1}}}
+\newcommand\ntab{\\\hspace*{1cm}}
 \renewcommand{\bar}{\overline}
-\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}}
+\renewcommand{\d}{\partial}
 \renewcommand*\contentsname{Содержание}
+\renewcommand{\ss}[1]{\{{#1}\}}
 \setmainfont{FreeSans}
 \graphicspath{ {../images} }
 \hypersetup {
@@ -37,7 +44,7 @@
 	linkcolor=blue,
 }
 % \everymath{\displaystyle}
-% \DeclareMathOperator{\rotor}{rot}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 
 \title {Экзамен по матеше, 2025, I семестр}
 \author {\texttt{justanothercatgirl}}
@@ -197,10 +204,10 @@ $a:=\inf\ss{x_n},b:=\sup\ss{x_n}$. пусть $x_1$ - первый элемен
 
 
 \item что фунд. Посл-ть ограничена. \\
-По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N \implies 
-x_N - \eps < x_n < x_N + \eps.
+По определению: \[\e N, \all n,m > N : |x_n - x_m] < \eps;\; m:=N+1 \implies 
+x_{N+1} - \eps < x_n < x_{N+1} + \eps.
 \]\[  
-	\exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. 
+	\exists M := \max\{x_1, \dots, x_{N-1}, x_N, x_{N+1} + \eps\} + 1: \all n \in \s N \; |x_n| < M. 
 \] Что формирует определение ограниченной последовательности
 
 
@@ -294,10 +301,6 @@ $(1+x)^n \geq 1 + nx \implies (1 + x)^n(1+x)\geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2
 
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Сложные задачи}
-:) потом как-нибудь..
-
-
 \section{Предел и непрерывность функции}
 \subsection{Определения}
 
@@ -387,8 +390,8 @@ a := \lim_{x \to x_0}f(x),\;b := \lim_{x \to x_0}g(x), \all x \in \exclreg \eps
 \begin{enumerate}
 \item О сумме бесконечно малых: $f, g$ б.м. в $a$
 $\system{
-	&\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 1)	\\
-	&\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 1)	\\
+	&\all \eps > 0 \e \delta' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta' \implies |f(x)| < \frac \eps 2)	\\
+	&\all \eps > 0 \e \delta'' > 0, \all x \in \s X (0 < |x - a| < \delta'' \implies |g(x)| < \frac \eps 2)	\\
 }\\
 \delta := \min\ss{\delta', \delta''},\quad |f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| < \eps
 $, что образовывет определение б.м. $f$-ии в $a$
@@ -402,15 +405,321 @@ $\system{
 \implies \all \eps > 0 \e \delta < 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x)g(x)| < \eps)$
 
 
-\item Об арифм. опер.: абсолютно аналогично последовательностям
+\item 1-ый предельный переход ($f(x) \geq c \implies \lim f(x) \geq c$) \\
+пойдём от противного: пусть $\lim := b < c: \\
+\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x \in \s X \left(0 < |x - a| < \delta \implies 
+\system {
+	&|f(x) - b| < \eps = \frac{c-b}2 > 0\\
+	&f(x) \geq c
+}\right) \implies \system {
+	&-\eps + b < f(x) < \eps + b \\
+	&f(x) \geq c 
+} \implies \\
+\implies c < b + \eps = \frac{b+c}2 \implies b > c 
+$ - противоречие. Тогда $b \geq c$
+
+
+\item Об арифм. опер., о пределе монот. ф-ии: абсолютно аналогично последовательностям 
+
+
+\item О равносильности Коши и Гейне
+\begin{itemize}
+	\item Коши $\implies$ Гейне:
+	$\system {
+		&\all \eps > 0 \e \delta > 0, (x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \in \reg \eps b) \\
+		&\all \eps'( = \delta) > 0 \e N \in \s N, \all n > N : x_n \in \reg {\eps'} a, x_n \neq a 
+	} \implies f(x_n) \in \reg \eps b$
+	\item $\lnot$ (Коши $\implies \lnot$ Гейне) $\Longleftrightarrow$ (Гейне $\implies$ Коши): \\
+	По условию $\e \eps > 0, \all \delta =: \frac 1 n > 0 \e x \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \not \in \reg \eps b)$. 
+	Составим посл-ть (по аксиоме выбора) из этих самых $x$. при этом из $x_n \in \exclreg {\frac 1 n} a \implies 
+	a - \frac 1 n < x_n < a + \frac 1 n \implies \ss{x_n} \to a$ (по т-ме о 3 посл.), при этом $f(x_n) \not \to b$.
+	По отрицанию Гейне $\exists \ss{x_n}: (\ss{x_n} \to a \implies \ss{f(x_n)} \not \to b)$, что мы и получили
+\end{itemize} 
+
+
+\item связь левых и правых пределов с пределом в точке \\
+Пусть $\lim_{x\to a}f(x) = b$. Зафиксируем $\eps$ \\
+$\e \exclreg \delta a \subset \s Y \all x \left\{
+	(x \in \exclreg \delta a \implies f(x) \in \reg \eps b) 
+	\Longleftrightarrow 
+	(x \in \exclreg {\delta^+} a \cup \exclreg {\delta^-} a \implies f(x) \in \reg \eps b)
+\right\} \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow 
+\exists \exclreg \delta a \subset \s Y \left\{
+	(x \in \exclreg {\delta_+} a \implies f(x) \in \reg \eps b)
+	\land
+	(x \in \exclreg {\delta_-} a \implies f(x) \in \reg \eps b)
+\right\} \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \lim_{x \to a + 0}f(x) = \lim_{x \to a-0}f(x) = b$
+
+
+\item Критерий Коши
+\begin{itemize}
+	\item $\e \lim \implies $ критерий Коши \\
+	По определению предела: 
+	$\all \eps > 0 \delta > 0, \all x', x'' \in \exclreg \delta a (|f(x') - b| < \frac \eps 2 \land |f(x'') - b| < \frac \eps 2
+	\implies |f(x') - f(x'')| \leq |f(x')| + |-f(x'')| = |f(x') - b| + |f(x'') - b| < \eps)$
+
+	\item критерий Коши $\implies \e \lim$ \\
+	Возьмём последовательность гейне $\ss{x_n} \to a$. Докажем, что $\ss{f(x_n)}$ фунд-на:  \\
+	$\system { 
+		&\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1, x_2 \in \s X (x \in \exclreg \delta a \implies |f(x_1) - f(x_2)| < \eps \\
+		&\all \eps > 0 \e N \in \s N, \all n \left(n > N \implies |x_n - a| < \eps \implies x_n \in \reg \delta a \cap \s X\right)
+	} \implies \e \all n, m \in \s N \\(n, m > N \implies x_n, x_m \in \exclreg\delta a \implies |f(x_n) - f(x_m)| < \eps) \implies
+	\ss{f(x_n)}$ - фундаментальная $\implies \e \lim_{x\to a}\ss{f(x_n)} =: b$ \\
+	Теперь докажем, что $b$ - предел и самой функции: \\
+	$\all \eps > 0 \e \delta > 0, \all x_1,x_2 \in \s X (x_1,x_2 \in \exclreg\delta a \implies |f(x_1) - f(x_2)| < \frac \eps 2);\;
+	\exists N_1, \all n > N_1 : x_n \in \reg\delta a \\ 
+	\exists N_2, \all n > N_2 f(x_n) \in \reg {\frac \eps 2} b,\quad N:=\max\ss{N_1, N_2} \implies \\
+	\implies \all n \in \s N \all x \in \exclreg \delta a (n > N \implies |f(x)-b| \leq |f(x) - f(x_n)| + |f(x_n) - b| < \eps)$
+\end{itemize}
+
+
+\item Теорема о непрерывности следует напрямую из теоремы о пределе арифм. опер.
+
+
+\item О предельном переходе в неравенство. Предположим, что $b < c$: \\
+$\system { 
+	&\all \eps > 0 \e \delta_1 > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg {\delta_1} a \implies |f(x) - b| < \eps) \\
+	&\all \eps > 0 \e \delta_2 > 0, \all x \in \s X (x \in \exclreg {\delta_2} a \implies |g(x) - c| < \eps) \\
+	&\all x \in \exclreg {\delta := \max\ss{\delta_1, \delta_2}} a: f(x) > g(x)
+},\quad \text{пусть } \eps = \frac{c-b}2, \system {
+	-\eps + b &< f(x) < b + \eps  \\
+	-\eps + c &< g(x) < c + \eps 
+} \implies \\ \implies \system {
+	&f(x) < \frac{b+c}2\\
+	&g(x) > \frac{b+c}2
+} \implies f(x) < g(x)$, что приводит к противоречию, а значит, $b > c$
+
 
+\item О непрерывности сложной функции \\
+$\system {
+	&\exists \delta': \all x \in \exclreg {\delta'} b: f(x) \in \reg{\eps'}{f(b)} \\
+	&\exists \delta: \all t \in \exclreg {\delta} a: \ph(t) \in \reg {\eps := \delta'} {\ph(a)=:b}\\
+} \implies \all t \in \exclreg \delta a: f(\ph(t)) \in \reg{\eps'}(f(\ph(a))) \equiv \\
+\equiv \lim_{t\to a} f(\ph(t)) = f(\ph(a))$
+
+
+\item О прохождении непр. на пром. ф-ии через $\all$ промеж. знач. \\
+Докажем утверждение о прохождлении ф-ии черещ $0$: \\
+Пусть $\s X:= \{x \in [a,b] \;|\; f(x) < 0 \}$ - ограничено $\implies \e \sup \s X =: c$ \\
+\begin{enumerate}
+	\item Предположим, $f(c) < 0$. Тогда $\e \reg {1} c: \all x \in \reg {1} c \; f(x) < 0\\
+		x_1 \in \reg {1+} c \implies f(x_1) < 0 \implies x_1 \in \s X, x_1 > c : $ противоречие 
+		$\implies f(c) \geq 0$
+	\item Предплолжим, $f(c) > 0$. Тогда $\e \reg {2} c: \all x \in \reg {2} c\; f(x) > 0 \\
+		\tilde c \in \reg {2-} c \implies \all x \in [\tilde c, c]\; f(x) > 0 \\
+		c = \sup \s X \implies \all \tilde c < c \e x \in \s X: \tilde c < x \implies f(x) < 0$
+		 - противоречие, значит, $f(c) \leq 0$
+\end{enumerate}
+Из этого получаем, что $f(c) = 0$.
+
+Теперь докажем для любого числа:
+$f$ проходит через $c$. рассмотрим $g := f - c$, тогда $g$ должна проходить через $0$ в точке $c'$: \\
+$g(c') = 0 \implies f = g + c = c$
+
+\item Теорема об обратной функции $f : \s X := [a,b] \to \s Y$
+\begin{enumerate}
+	\item $\s Y = [f(a), f(b)]: \all x \in \s X\; a \leq x \leq b \implies f(a) \leq f(x) \leq f(b). \implies f(\s X) \subseteq \s Y \\
+	\all y \in \s Y \e x \in \s X: f(x) = y \implies \s Y \supseteq f(\s X) \\
+	f(\s X) = \s Y$ - сюръективность
+	\item $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2): x_1 \lessgtr x_2 \implies f(x_1) \lessgtr f(x_2) \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ 
+	- инъективность
+	\item $\all y_1, y_2 (y_1 > y_2 \implies f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)):$ пойдём от обратного\\
+	$y_1 > y_2 \land f^{-1}(y_1) \leq f^{-1}(y_2) \Longleftrightarrow
+	y_1 > y_2 \land f(f^{-1}(y_1)) \leq f(f^{-1}(y_2)) \equiv y_1 \leq y_2 
+	$ - противоречие, тогда обратное верно, тогда $f^{-1}$ строго монотонна
+	\item $f^{-1}$ непрерывна \\
+	$y_0 \in (f(a), f(b)), f(a) < y_0 < f(b), f^{-1} \text { возрастает } \implies a < x_0 < y_0;\;
+	\epsilon: \reg \eps x_0 \subsetneq [a,b] \\
+	f(x_0 - \eps) =: y_1 \leq f(x_0) \leq f(x_0 + \eps) =: y_2 \implies x_0 -\eps \leq f^{-1}(y_0) \leq x_0 + \eps \\
+	\all y \in (y_1, y_2) : f^{-1}(y) \in (x_0 - \eps, x_0 + \eps) = \reg\eps {x_0} \\
+	\delta: (y_1, y_2) \supseteq \exclreg\delta y_0 \\
+	\all \eps > 0 \e \delta > 0 \all y \in \s Y (y \in \exclreg \delta {y_0} \implies f^{-1}(y_0) \in \reg \eps {x_0})$
+\end{enumerate}
+
+\item 1 зам. предел:
+$|\sin x| < |x| < |\tan x| \implies 1 < \frac{|x|}{|\sin x|} < \frac 1 {|\cos x|}
+\implies 1 > \frac{\sin x}x > \cos x$.  \\
+По т-ме о 2 полицейских $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1$
+
+\item 2 зам. предел: 
+$[x] \leq x \leq [x] + 1 \\
+\frac 1 {[x]} \geq \frac 1 x \geq \frac 1 {[x]+1} \\
+1 + \frac 1 {[x]} \geq 1 + \frac 1 x \geq 1 + \frac 1 {[x]+1} \\
+\left(1 + \frac 1 {[x]}\right)^{[x+1]} \geq \left(1 + \frac 1 x\right)^x \geq \left(1 + \frac 1 {[x]+1}\right)^{[x]} \\
+\left(1 + \frac 1 {[x]}\right)^{[x]}\left(1 + \frac 1 {[x]}\right) \geq 
+	\left(1 + \frac 1 x\right)^x \geq 
+	\left(1 + \frac 1 {[x+1]}\right)^{[x+1]}\cdot\left(1 + \frac 1 {[x+1]}\right)^{-1} \\
+\left[\text{пользуемся доказанным пределом последовательнсти}\right] e\left(1 + \frac{1}{[x]}\right) \geq \left(1+\frac 1 x\right)^x \geq e\left(\frac 1 {1 + \frac{1}{[x+1]}}\right);\hspace{1cm}
+$ по т-ме о 2 пол-их: $\lim_{x\to+\infty}\left(1 + \frac 1 x\right)^x = e$
+
+Для случая $x \to -\infty$ заменяем $t=-x$ и делаем преобразования, приводим к такому же виду, как в прошлом пункте
+
+ДОКАЗАНО!!!
 
 \end{enumerate}
+
+
 \section{Производные и дифференциалы}
+
+\subsection{Определения}
+
+Производная: $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
+\\
+Левая: $x\to a-0$
+\\
+Дифференцируемая ф-я: $\Delta y = A\Delta x + \alpha(\Delta x)\Delta x = A\Delta x + \bar o(\Delta x)$
+\\
+Касательная: прямая, проходящая через $(x_0, f(x_0))$ и имеющая угловой коэффициент $f'(x_0)$
+\\\hspace*{1cm} ИЛИ: $\lim$ положение прямой, проходящей через точки 
+$\ss{x, f(x)}, \ss{x+\Delta x, f(x + \Delta x)}$ при $\Delta x \to 0$ 
+\\\hspace*{1cm} Уравнение касательной: $y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$
+\\
+Дифференциал: $dy = f'(x)\Delta x = A\Delta x$ - "основная" составляющая приращения $\Delta y$ 
+из определения диф. ф-ии
+\\
+Производная $n$-ого порядка: (по индукции) $f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'$
+\\
+$n$ раз дифференц.-ая ф-ия: если $\e f^{(n)}(x) \implies$ ф-я дифф-ма $n$ раз
+\\
+Если множество $n$-ых производных функции индуктивно, то ф-я бесконечно дифф-ма
+\\ \hspace*{1cm} Индуктивное множество: $1 \in \s X \land \all x \in \s X \implies (x+1) \in \s X$
+\\
+$n$-ый дифференциал: $\delta(dy) = \delta[f'(x)dx]$ при $\delta x = dx$ называется 2-ым дифф-ом и обозначается $d^2y$
+\\ \hspace*{1cm} по индукции $\delta(d^{n-1}y)|_{\delta x=dx} = d^ny$ 
+\\ \hspace*{1cm} $\delta(dy) = \delta(f'(x)dx) = \delta(f'(x))dx + f'(x)\delta(dx) = \delta(f'(x))dx = f''(x)\delta xdx = f''(x)dx^2$
+
+
+\subsection{Теоремы (без док-ва)}
+Дост. (и необх.) условие $\e$ касательной к графику: дифференцируемость
+\\
+Об арифм. операциях, сложной, обратной, параметрическoй функции: позже с доказательством
+\\
+Дифференциал арифм. операций: то же, что и производная, но вместо $f(x)$ - $d(f(x))$
+\\
+$n$-ая производная произведения: 
+$(uv)^{(n)} = u^{(n)}v + C^1_nu^{(n-1)}v^{(1)} + C^2_nu^{(n-2)}v^{(2)} + \dots + C^{n-1}_nu^{(1)}v^{(n-1)} + uv^{(n)}$
+\\ \hspace*{1cm} По аналогии с формулой для $(a+b)^n$
+
+\subsection{Теоремы (с док-вом)}
+
+\begin{enumerate}
+\item производная суммы \\
+$(f' \pm g') = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) \pm g(x) \mp f(x + \Delta x) \mp g(x + \Delta x)}{\Delta x} = 
+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) - f(x + \Delta x)}{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x) - g(x + \Delta x)}{\Delta x}
+= f' + g'$
+
+\item Производная произведения \\
+$(fg)' = \dlim x \frac{f(x+\Dx)g(x+\Dx) - f(x)g(x)}{\Dx} = \dlim x \frac{f(x+\Dx)g(x+\Dx) - f(x+\Dx)g(x) + f(x+\Dx)g(x) - f(x)g(x)}{\Dx}
+= \\ = \dlim x f(x+\Dx)\frac{g(x+\Dx) - g(x)}{\Dx} + \dlim x g(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{\Dx} 
+\overset{\e f', g'}= g'\dlim x f(x+\Dx) + f'\dlim x g(x) = \\
+\overset{f\text{ непрерывна}}=g'f + f'g $
+
+\item Производная частного \\
+$\Delta y = y(x + \Dx) - y(x) = \frac{f(x + \Dx)}{g(x + \Dx)} - \frac{f(x)}{g(x)} 
+= \frac{g(x)f(x+\Dx) - f(x)g(x+\Dx)}{g(x)g(x+\Dx)}
+= \frac{g(x)f(x+\Dx) - f(x)g(x) - f(x)g(x+\Dx) + f(x)g(x)}{g(x)g(x+\Dx)} = \\
+= g(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{g(x)g(x+\Dx)} - f(x)\frac{f(x+\Dx) - f(x)}{g(x)g(x+\Dx} = 
+\frac{g(x)\Delta f - f(x) \Delta g}{g(x)g(x+\Delta x)} \\
+\dlim x \frac{\Delta y}{\Dx} = \dlim x \frac{\Delta f g(x) - f \Delta g(x)}{g(x)g(x+\Dx)\Dx}
+\overset{g \text{ непрерывна}}=\frac{f'g - fg'}{g^2}$
+
+\item Производная сложной функции $f(\ph(t))$ \\
+$\Delta t \longrightarrow \Dx = \ph ( t + \Delta t ) - \ph(t) \\
+\Delta x \longrightarrow \Delta y = f'(x)\Dx + \alpha(\Dx)\Dx \\
+\frac{\Delta y}{\Delta t} = f'(x) \frac{\Dx}{\Delta t} + \alpha(\Dx) \frac{\Dx}{\Delta t} =
+f'(x)\ph'(t) + \alpha(\ph(t+\Delta t) - \ph(t))\ph'(t) = \\ = [\Delta t \to 0 \implies \Dx \to 0 \overset{def}\implies \alpha \to 0] 
+\overset{\ph \text{ непрерывна}}=f'(\ph(t))\ph'(t) + 0 = f'(\ph)\ph'$
+
+\item Производная Обратной функции $f^{-1}(y)$ \\
+$\Delta y \longrightarrow \Dx = f^{-1}(y+\Delta y) - f^{-1}(x) \to 0
+\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac 1 {\frac{\Delta y}{\Delta x}} = (*) \\
+x = f^{-1}(y);\;\Dx = f^{-1}(y + \Delta y) - f^{-1}(y) \implies
+x + \Dx = f^{-1}(y + \Delta y) \implies f(x + \Dx) = y + \Delta y \implies 
+f(x + \Dx) - f(x) = \Delta y \\
+(*) = \frac 1 {\frac{f(x + \Dx) - f(x)}\Dx} \overset{f' \neq 0}= \frac{1}{f'(x)} \\
+f^{-1}(y) = \frac 1 {f'(x)}$
+
+\item Производная параметрической функции $f = \system {x = \ph(t) \\ y = \psi(t)}$ \\
+предположим $\displaystyle 
+t \in \reg \eps {x_0} : \e \ph^{-1}(x),\; x \mapsto t \\
+y(t) = \psi(\ph^{-1}(\ph(t))) = \psi(\ph^{-1}(x)) = \psi \circ \ph^{-1} = y(x) \\
+\at{\frac{dy}{dx}}{x_0} = \at{\frac{d(\psi \circ \ph^{-1})}{dx}}{x_0} = 
+\at{\frac{d\psi}{d(\ph^{-1})}}{x_0}\at{\frac{d(\ph^{-1})}{dx}}{x_0} 
+= \at{\frac{d\psi}{dt}\frac{dt}{d\psi}}{t_0 = \ph^{-1}(x_0)}
+= \frac{\at{\frac{d\psi}{dt}}{t_0}}{\at{\frac{d\ph}{dt}}{t_0}} = \frac{y_t'(t_0)}{x_t'(t_0)}$
+
+\end{enumerate}
+
+
+
 \section{Интегралы}
+\subsection {Определения}
+Дифф. Функцию $F: \s X \to \s R$ называют первообразной к $f: \s E \to \s R$, если $\all x \in \s X \; F'(x) = f(x)$
+\\
+Неопределённый интеграл: Множество всех первообразных функции $f$
+\\
+Интегральная сумма: если $T_{[a,b]} = [x_0, x_1,\dots, x_{n-1}]$ - разбиение $f$, $\ss{\xi_i}$ - кортеж отмеченных точек $\all \xi_i: x_i < \xi_i < x_{i+1}$, то 
+$I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=0}^n f(\xi_i)\Delta_i,\;\Delta_i = x_i - x_{i-1}$ называется интегральной суммой
+\\
+Предел инт. сумм: $\Delta := \sup_i \Delta_i$, $\lim_{\Delta\to 0}I(x_i, \xi_i)
+\\\hspace*{1cm} \all \eps > 0 \e \delta > 0, \all T_{[a,b]}, \all \ss{\xi_i} (\Delta < \delta \implies |I - I(x_i, \xi_i)| < \eps)$
+\\
+Определённый интеграл: $I$ - предел интегральных сумм $=: \int_a^b f(x)dx$
+\\
+Сумма дарбу: $\displaystyle
+\bar s = \sum_i m_i\Delta_i, m_i = \inf_{[x_i, x_{i+1}]}; 
+\quad \rab S = \sum_i M_i\Delta_i, M = \sup_{[x_i, x_{i+1}]};$
+
+\subsection{Теоремы (без док-ва)}
+
+Интегрирование по частям: Есть в доказательствах
+\\
+Интегрирование заменой переменной: Есть в док-вах
+\\
+СВОйства Сумм Дарбу:
+\begin{itemize}
+	\item $\bar s = \inf \ss{I(x_i, \xi_i)};\quad \rab S = \sup \ss{I(x_i, \xi_i)}$
+	\item $T_{[a,b]}' := T_{[a,b]} + \ss{x_{p1}, x_{p2}, \dots} \implies \bar s_T \leq \bar s_{T'} \leq \rab S_{T'} \leq \rab S_T$
+\end{itemize}
+Функция Интегрируема тогда и только тогда, когда $\bar I = \rab I$
+\\
+Ф-я инт-ма $\Longleftrightarrow \all \eps > 0 \e T_{[a,b]}: \rab S(T) - \bar s (T) < \eps$
+\\
+Классы интегрируемых функций:
+\begin{itemize}
+	\item Непрерывные
+	\item Монотонные
+	\item Имеющие конечно число точек разрыва $I$ порядка
+\end{itemize}
+СВОйства определённого интеграла: Линейность по аргументу; аддитивность по отрезку
+\\
+Теорема о среднем значении: \\\hspace*{1cm} $\displaystyle \all x\; \sgn g(x) = const \implies 
+\e \mu \in \left[\inf_{[a,b]} f; \sup_{[a,b]} f\right] : \int_a^bf(x)g(x)dx=\mu\int_a^bg(x)dx$
+\\\hspace*{1cm} Если $f$ непрерывна, то по теореме о прохождении через промежуточное значение 
+\\\hspace*{1cm} $\e c: f(c) = \mu \implies \int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)$
+\\
+Формула Ньютона-Лейбница: $\dst \int_a^bf(x) = F(b)-F(a) = \from F a b$
+\\
+Формула Лейбница (дифференцирование интеграла с переменными пределами):
+\ntab пусть $\dst f(x, t)$ непрерывна, тогда $I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx$ дифференцируем по $t$,
+\ntab $\dst \frac{d}{d t}\int_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx = f(b(t),t)\frac{db}{dt} - f(a(t),t)\frac{da}{dt} 
+	+ \int_{a(t)}^{b(t)}\frac{\d}{\d t}f(x, t)dx$
+\ntab В частном случае, когда $f$ не зависит от $t$,
+	$\dst \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}f(x)dx = f(b(t))\cdot\at{\frac{db}{dt}} t - f(a(t))\cdot\at{\frac{da}{dt}}t$
+\\
+Замена переменной: $\int_a^bf(x)dx = \int_{\ph(a)}^{\ph(b)}f(\ph(t))\ph'(t)dt$
+\\
+Инт. По частям: $\int_a^bf(x)g'(x)dx = \from{(f\cdot g)} a b - \int^a_bf'(x)g(x)dx\hspace{1cm}
+\int udv = uv - \int vdu$
+
+\subsection{Теоремы (с док-вом)}
+\begin{enumerate}
+\item тут пиздец...
+\end{enumerate}
+
 \section{Теоремы о диф. ф-ях}
 \section{Построение Графиков}
 
 $\texttt{curl https://trust-me-bro.com | sudo bash}$
 
-\end{document} \\
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3-70-g09d2

