diff options
Diffstat (limited to '2025mech.tex')
| -rw-r--r-- | 2025mech.tex | 487 |
1 files changed, 361 insertions, 126 deletions
diff --git a/2025mech.tex b/2025mech.tex index 4f34b3d..78b62f9 100644 --- a/2025mech.tex +++ b/2025mech.tex @@ -1,43 +1,126 @@ -\documentclass{article} +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage{fontspec} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{wrapfig} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{pifont} +\newcommand{\cmark}{\ding{51}}% +\newcommand{\xmark}{\ding{55}}% +\renewcommand{\d}{\partial} +\usepackage[margin=0.4in]{geometry} +\setmainfont{FreeSans} +\graphicspath{ {../images} } +%\everymath{\displaystyle} + +\DeclareMathOperator{\divergence}{div} +\DeclareMathOperator{\gradient}{grad} +\DeclareMathOperator{\rotor}{rot} + \begin{document} +Билет 1. Предмет механики. Пространство и время в механике Ньютона. +Система координат и тело отсчета. Часы. Система отсчета. Эталоны +длины и времени. +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Механика - Наука, изучающая движение и равновесие [частей] тел; основная задача механики - получение законов разных видов движения. + \item Пространство - геометрическая модель материального мира, aобладает свойствами: трёхмерное, однородное, изотропное, евклидное (в $[10^{-35}, 10^{26}]$м + \item Время - непрерывная физическая величина, измеряемая сравнением с определённым эталоном. Обладает свойством однонаправленности и необратимости, равномерности + \item Система координинат - совокупность $N [=3]$ линейно независимых осей, пересекающихся в одной точке. + \item Тело отсчёта - тело, относительно которого рассмтривается движение тел. + \item Часы - прибор измерения времени, основан на сравнении с "эталоном" - периодическим процессом + \item Система отсчёта - совокупность (Системы координат; Тела отсчёта; Набора часов в разных точках пр-ва). + \item Эталон секунды - $9\,192\,631\,770$ колебаний элмаг излучения ($\leftarrow$переход между 2 урoвнями $Cs_{133}$), + Метра - Длиина пути света в вакууме за $\frac{1}{299\,792\,458}$с +\end{itemize} + + + +Билет 2. Кинематика точки и системы материальных точек. Способы описания +движения. Уравнение кинематической связи. Закон движения. +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Кинематика - раздел мех., движение тел - \cmark, причины движения - \xmark + \item Описание движения: + Ествественный способ: траектория $L$ + начало $O$ + положение на $L$ =$s(t)$; + \textit{закон} движения [координатный/векторный]: $\vec r(t) \equiv \{x(t); y(t); z(t)\}$; + графический + \item Уравнение кинмат. связи - Уравнение, связывающее кинемат. характеристики ($\vec r,\,\vec v,\,\vec a$) +\end{itemize} + + + +Билет 3-4. Инерциальные системы отсчета (ИСО). Преобразования Галилея и их +следствия. Возможность использования Земли как ИСО. Эксперименты, +показывающие неинерциальность Земли. Законы динамики. Понятия массы, импульса и силы в механике Ньютона. +Первый, второй и третий законы Ньютона. Уравнение движения и его +решение. Роль начальных условий +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Масса: мера количества вещества(материи), содержащегося в теле. Она аддитивна и инвариантна. + Эталон: 1кг = масса цилиндра на 90\% платины, 10\% иридия высотой и диаметром 39 мм. Точность: $10^{-8}$ + \item Испульс: Мера количества двжиения $\vec p = m\vec v$. Закон движения тогда $\dot{\vec p} = \vec F$ + \item Сила: мера взаимодействия тел. Единица силы: 1Н: Такая сила, которая массе 1кг придаст ускорение 1м/$c^2$. + 1Н = $\frac{kg\cdot m}{c^2}$ + \item Первый закон ньютона: $\exists$ ИСО такие, что Мат. Точка, на которую не действуют силы (или $\sum \vec F=0$), находится в покое или в равномерном прямолинейном движении + \subitem (Такая мат. точка называется изолированной) + \item Второй Закон Ньютона: Ускорение тела порп. равнод. силе, совпадает с ней по направлению и обратно проп. массе: $\vec F = m\vec a$ + \item Третий: Силы возникают парами, они приложены к взаимод. телам, равны по модулю, противоп. по направлению, + одной природы и действуют вдоль одной прямой + \item Принцип относительности Галилея: $\forall$ мех. явления подчиняются одним законом в $\forall$ ИСО + \item Преобразования Галилея: ИСО $S'$ движется относ ИСО $S$ по оси $x$ со скоростью $v$. тогда + $\left\{\begin{aligned}\vec r &= \vec r' + \vec u t \\ t &= t'\end{aligned}\right.$ + \item Маятник Фуко: поворачивается вокруг своей оси вращения \\ + Допустим он на северном полюсе. Тогда уравнение моментов: + $J\ddot {\vec\alpha} = m \vec l \times \vec g - 2 m [\vec l \times [\vec \Omega \times [\vec l \times \vec \omega]]]$ \\ + \item Отклонение падающих тел к Востоку: $l_0 = \frac 2 3 \omega h \sqrt{\frac{2h}{g}}$. для $h = 100$м, $l_0 \approx 2.2$см $\approx 2\%$ +\end{itemize} + + Билет 5. Законы, описывающие индивидуальные свойства сил. Закон всемирного тяготения. Закон Гука. Законы для сил сухого и вязкого трения. Явление застоя. Явление заноса. -\begin{enumerate} - \item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_\max$, чтобы привести груз +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Явление застоя: Сила трения покоя: $ F \geq F_{\max}$, чтобы привести груз в движение (задача с затухающими колебаниями на шероховатой доске) \item явление заноса: при движении тела, перпендикулярная сила трения покоя =0 (задача: на ленте лежит груз, груз на пружине и стоит на месте, лента под ним едет, тогда сколь угодно малая сила $\perp$ движению сместит груз. Если бы лента не двигалась, такого бы не было) -\end{enumerate} + \item +\end{itemize} Билет 6. Система материальных точек. Число степеней свободы системы. Изолированная и замкнутая системы материальных точек. Закон сохранения импульса. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} \item Число степеней свободы: Количество независимых переменных, необходимых для однозначного задания состояния системы. Пример: Мат. точка - 3, $(x, y, z)$; Аб. твёрд. тело - 6, $(x, y, z, \alpha, \beta, \gamma)$. -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 7. Центр масс. Теорема о движении центра масс. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} \item Центр масс системы: $\vec r = \frac 1 M \sum_i^n m_i \vec r_i$ - такая точка, которая, имея массу, равную суммарной массе системы, при движении со скоростью $\vec v$ (скорость центра масс) имеет такой же импульс, как система материальных точек \item $M\vec r = \sum_i^n m_i \vec r_i \implies M\vec v = \sum_i^n m_i\vec v_i \implies P = M\vec v.\\ \vec F=\frac{d\vec P}{dt} \implies M\vec a = \vec F$, где $\vec a$ - ускорение центра масс, $\vec F$ - равнодействующая сил, действующих на систему -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 8, 9. Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского (8). Формула циолковского (9). -\begin{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} \item Движение тел с $M \not = const$. Пусть $M(t), v(t)$ - ракета, $u=const$ - топливо. \\ $Mv = (M+dM)(v+dv) + (-dM)(v-u),\;(dMdv << 1)\; \implies Mdv+udM = 0;\; M\frac{dv}{dt} = -u\frac{dM}{dt};\;\mu = -\frac{dM}{dt};\;\vec F = -\mu\vec u$ (последнее просто определили) \\ @@ -50,14 +133,15 @@ $\displaystyle Mdv + udM = 0 \implies \frac{dM}M = -\frac{dv}u \int_{M_0}^M \frac{dM}M = -\int_{v_0}^v \frac {dv} u;\; \ln\frac{M}{M_0} = -\frac{v-v_0}{u}$ \\ $v = v_0 - u\ln\frac M{M_0}$ - Формула Циолковского, которая позволяет оценить конечную скорость ракеты -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 10-11. Работа силы. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Консервативные силы и системы. Потенциальная энергия. (10). Связь консервативных сил с потенциальной энергией. Закон изменения и сохранения механической энергии (11) -\begin{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} \item $\delta A = \vec Fd\vec r = Fdr\cos\alpha;\;A=\int_1^2\vec F d \vec r \\ \delta A = m\frac{d\vec v}{dt}dr = d\left(\frac{mv^2}2\right) \\ A = \int_1^2 \vec F d\vec r = \int_1^2 d\left(\frac{mv^2}2\right) = @@ -78,352 +162,503 @@ \end{aligned}\right.$ \item Набла и градиент: $dA = \vec F d \vec r = -dU = (F_x\vec i + F_y\vec j + F_z\vec k)(dx\vec i + dy\vec j + dz\vec k) = - -\left(\frac{\partial U}{dx}dx + \frac{\partial U}{dy}dy + \frac{\partial U}{dz}dz\right) \\ + -\left(\frac{\d U}{dx}dx + \frac{\d U}{dy}dy + \frac{\d U}{dz}dz\right) \\ \vec F = - \nabla U [= -grad U]$ - такое поле называется потенциальным. Стационарное поле: - $F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\partial U}{\partial x}dx + \frac{\partial U}{\partial y}dy +\frac{\partial U}{\partial z}dz$ + $F$ не зависит от $t$. В таком поле $dU = \frac{\d U}{\d x}dx + \frac{\d U}{\d y}dy +\frac{\d U}{\d z}dz$ \item Полная механическая энергия: В поле консерв: $A_{full} = A + A_{ext},\;A=\Delta W_p \implies \Delta W_k = \Delta W_p + A_{ext}\quad(1)$ \\ $W = W_k + W_p$, $W_2 - W_1 = A_{ext} = $ работа внешних сил\quad $(2)$ \\ $(1), (2) \implies \Delta W = A_{ext}$ - закон изменения механической энергии \\ Если сторонние силы не совершают работу или отсуствуют, то полная механическая энергия в поле консервативных сил не изменяется $E = const,\;\frac{dE}{dt} = 0$ -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 12. Соударения тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса при соударениях тел. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item + +\end{itemize} Билет 13. Неинерциальные системы отсчета. Движение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета. Силы инерции. Переносная и кориолисова силы инерции. Центробежная сила инерции. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 14. Кориолисова сила инерции. Примеры ее проявления на Земле. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item примеры: + Река, текущая с севера на юг в сев. полушарии (и не на экваторе), имеет западный берег выше восточного; \\ + Маятник Фуко изменяет плоскость своих колебаний за счёт силы кориолиса; \\ + Тело, отпущенное с высоты и падающее на землю, будет лететь не к центру земли, а немного на восток +\end{itemize} Билет 15. Кинематика абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Плоское движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Мгновенная ось вращения. Теорема Эйлера. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Поступательное: $\forall$ точки движутся по $\parallel$ траекториям + \item Вращательное: $\forall$ точки движутся по окружностям $\perp$ оси вращения с общим центром на оси вращения + \item Плоское: траектории $\forall$ точек лежат в $\parallel$ плоскостях + \item Мгновенная ось вращения: такая ось, вокруг которой плоское движение + можно представить только как вращательное (ось, относительно которой + плоско движущееся тело не двигается поступательно) + \item Теорема Эйлера: Если твёрдое тело закреплено в одной точке, то оно может быть + переведено из одного положения в $\forall$ другое одним поворотом вокруг неподвижной + оси $\subset$ точку закрепления. Значит, $\forall t \exists O$ - мгновенная ось вращения. +\end{itemize} Билет 16. Уравнение моментов для вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси. Момент инерции относительно оси и приёмы его вычисления. Теорема Гюйгенса-Штейнера. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item $J = \int \rho^2dm$. Для шара: $dm = \frac m V r^2 \sin\theta drd\varphi d\theta;\,\rho=r\sin\theta + \implies J = \frac m V \int_0^Rr^4dr\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin^3\theta d\theta = \frac 2 5 mR^2$ \\ + Для плоской фигуры: $x, y \in shape \implies dJ_z = (x^2+y^2)dm = dJ_x + dJ_y$ + \item Теорема Г-Ш: Пусть есть 2 оси, одна через Ц.М., вторая параллельна ей. + Момент инерции относ. оси 2: $J=\sum_i \Delta m_i \rho_i^2 = + \sum_i \Delta m_i (\vec R_i - \vec a)^2 = + \sum_i \Delta m_i R_i^2 + \sum_i \Delta m_i a^2 - 2\vec a\sum_i\Delta m_i \vec R = + J_0 + ma^2 + 0 = J_0 + ma^2$ +\end{itemize} Билет 17. Теорема Кёнига. Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Т-ма кёнига: Связывает кин. Энегрии между системами отсчёта: $W_k = W_0 + W'$, + т.е. кин. энергия = сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в движении относительно ц.м. + \\ Вывод: + $v' = u+v, W = \sum_i \frac{m_i{v'}_i^2}{2} = \frac 1 2 \sum_i m_i (\vec v + \vec u)^2 = + \frac {mv^2}2^{[=W_0]} + \vec v \sum_i m_i \vec {u_i}^{[=0]} + \frac 1 2 \sum_i m_i {u_i^2}^{[=W']}$ + \item По теореме Кёнига, при плоском движении $W_k = W_0 + W' = \frac{mv^2}2 + \frac{J\omega^2}2$ +\end{itemize} Билет 18. Момент импульса материальной точки. Момент силы. Закон сохранения момента импульса для материальной точки. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item $\vec L=\vec \omega J$ + \item $\sum\vec M=0\implies\vec L = const$ +\end{itemize} Билет 19. Движение абсолютно твердого тела с закрепленной точкой. Тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 20. Главные и центральные оси вращения. Силы и моменты сил, действующие на вращающееся твердое тело. Свободные оси вращения. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 21. Гироскопы. Прецессия гироскопа. Угловая скорость вынужденной прецессии. Уравнение (формула) гироскопа. Гироскопические силы. Правило Н. Е. Жуковского. Волчки. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 22. Динамика твердого тела. Уравнение движения центра масс и уравнение моментов. Динамика плоского движения твердого тела. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 23. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение гармонических колебаний. Его решение. Пружинный и математический маятник. Механическая энергия системы, совершающей свободные колебания. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 24. Свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний. Частота и период колебаний. Фаза и начальная фаза. Начальные условия. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 25. Сложение гармонических колебаний. Биения. Частота биений. Фигуры Лиссажу. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 26. Затухающие колебания. Уравнение затухающих колебаний, его решение. Показатель затухания. Логарифмический декремент затухания. Время релаксации. Добротность. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 27. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний. Его решение. Процесс установления колебаний. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 28. Резонанс. Амплитудная резонансная кривая. Ширина амплитудной резонансной кривой и добротность. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 29. Понятие о нелинейных колебаниях. Параметрическое возбуждение колебаний. Автоколебания. Релаксационные колебания. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 30. Связанные колебательные системы. Нормальные колебания (моды) и парциальные колебания. Нормальные и парциальные частоты. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 31. Волны. Распространение «импульса» в среде. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Скорость волны и скорости «частиц». -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 32 (34). Волновое уравнение, его решение. Плоская гармоническая бегущая волна. Волны смещений, скоростей, деформаций. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 33. Волны на струне, в стержне, в газовой среде. Связь скорости волны со свойствами среды. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 35. Стоячие волны. Распределение амплитуд смещений, скоростей и деформаций «частиц» в стоячей волне. Узлы и пучности. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 36. Нормальные колебания струны, стержня, столба газа. Акустические резонаторы, резонаторы Гельмгольца. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 37.Элементы акустики. Звуковые волны. Высота и тембр звука. Громкость звука. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 38. Поток энергии в бегущей волне. Вектор Умова. Интенсивность волны. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 39. Движение со сверхзвуковой скоростью. Ударные волны. Конус Маха. Число Маха. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 40.Классический эффект Доплера. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 41.Основные понятия теории относительности. Пространство и время в релятивистской механике. Два постулата Эйнштейна. Синхронизация часов. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 42. Преобразования Лоренца. Инварианты преобразований Лоренца. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 43. Собственная длина и собственное время. Лоренцево сокращение длины движущихся отрезков. Релятивистское замедление темпа хода движущихся часов. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 44. Событие в специальной теории относительности. Интервал между событиями. Инвариантность интервала. Свето-подобные, времени- подобные и пространственно-подобные интервалы. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 45. Относительность одновременности. Интервал между событиями. Причинно-следственная связь между событиями. Скорость света как максимальная скорость распространения сигналов. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 46. Сложение скоростей в релятивистской механике. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 47. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения. Понятие о сопутствующей системе отсчета. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} Билет 48. Энергия частицы в релятивистском случае. Связь энергии, импульса и массы. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} \item -\end{enumerate} +\end{itemize} -Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая и -остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига, +Билет 49. Основы механики деформируемых сред. Типы деформаций. Упругая +и остаточная деформации. Деформации растяжения, сжатия, сдвига, кручения, изгиба. Количественные характеристики деформаций. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Деформация - вшен. воздействие $\rightarrow$ изменение взаимного расположения материальных точек тела $\rightarrow$ искажение формы, размера, появление напряжений + \item Упругие деф.: полностью исчез после прекращения действия сил; Неупругие: остаются; Остаточные [пластические]: те, что остались. + \item Типы деформаций: растяжение, сдвиг, кручение, изгиб; элементарные: растяжение, сдвиг (остальлные: суперпозиция). + + Растяжение: + $\Delta l = l - l_0$ - абсолютное удлинение; + $\varepsilon_{\parallel} = \frac {\Delta l}{l_0}$ - относ. удл.; + $\varepsilon_\perp = \frac{\Delta d}{d}$; + $\mu = -\frac {\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel} > 0$ - Коэффициент Пуассона; + $\sigma = E\varepsilon_\parallel$ - закон гука; \\ + На графике $\sigma(\varepsilon)$: предел проп $\rightarrow$ предел упругости $\rightarrow$ предел текучести $\rightarrow$ предел прочности $\rightarrow$ разрыв \\ + $V' = l'd'^2 \approx V(1+\varepsilon_\parallel + 2\varepsilon_\perp) \implies \frac{\Delta V}{V} \approx \varepsilon_\parallel(1-2\mu)$; $\mu \in \left(0; \frac 1 2\right)$ + + Сдвиг: $\tau = G\gamma\quad[\gamma = \tan\alpha]$ - модуль сдвига; + + Кручение: $M = f\varphi,\quad f = \frac{\pi G R^4}{2l}$ - модуль кручения + + Изгиб: + $u(l) = \frac {Fl^3}{3EJ}$ - стрела прогиба + \item Количественные характеристики деформаций: + $E$ - модуль упругости (Юнга) $\sim 10^7$ для металлов, + $G$ - модуль сдвига $\sim 10^6$ для металлов, + $f$ - модуль кручения, + $u$ - стрела прогиба +\end{itemize} Билет 50. Закон Гука для различных видов деформаций. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Модуль сдвига. Связь между модулем Юнга и модулем сдвига (формула с пояснением). -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Закон гука: относительная деформация $\varepsilon \propto \sigma$ - напряжениям; $\sigma = \varepsilon E;\; \sigma_\tau = \gamma G$ + \item Модуль Юнга(упругости) - $E = \frac 1 \chi$ - обратный коэфф. пропорциональности; $[E]$=Па + \item Модуль сдвига - $G$ - то же самое, но связывает $\gamma = \tan\alpha$ с $\sigma_\tau$ + \item К. Пусассона: $-\frac{\varepsilon_\perp}{\varepsilon_\parallel}$ + \item Связь модуля Юнга и Сдвига: [Вывод: Алешкевич 259] $G = \frac E {2(1+\mu)}$. + Непонятки!: $\tan\left(\frac \pi 4 + \beta\right) \approx 1 + \frac 1 {\cos^2\frac \pi 4}\beta = 1 + 2\beta$. \\ + Сам Алгоритм вывода: Рисуем куб, внутри него ромб, начинаем куб растягивать. Надохим связь растяжения и угла сдвига ромба (тут угол $\ll$1, $\tan(\frac\pi 4 + \alpha)\rightarrow1+2\alpha$) + , потом выражаем угол сдвига через $\varepsilon,\,\mu$, рисуем как напряжение передаётся на грани ромба с граней куба, находим связь $\\\sigma = 2\sigma_\tau$ + , получаем формулу, profit +\end{itemize} Билет 51. Энергия и объемная плотность энергии деформированного твердого тела. -\begin{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item $dA = fdx = \sigma l^2 dx = [d\varepsilon = \frac {d(\Delta l)}l = \frac {dx}l] =\sigma l^3 d\varepsilon \implies A_\varepsilon = l^3\int_0^\varepsilon\sigma(\varepsilon)d\varepsilon$ \\ + Аналогично $A_\gamma = l^3\int_0^\gamma \sigma_\tau(\gamma)d\gamma$ + т.к. $\sigma(\varepsilon)$ не линейна в общем случае, то мы берём интаграл. + Для линейного случая: $A = \frac{E\varepsilon^2}2l^3 = \frac{G\gamma^2}2l^3$, объёмная плотность $w=\frac A {l^3}$ \\ + В общем виде: $\exists$ Упругий гистерезиз: петля остаточных деформаций, и её площадь равна работе, затраченной на нагревание +\end{itemize} -\end{enumerate} + +Просто на всякий случай вывод уравнения эйлера для Идеальной жидкости (ПО ЯКУТЕ??): \\ +рассмотрим цилиндр жидкосaти:\\ +$ + dD_x $(сила давления)$ = dS(p(x) - p(x+dx)) = -\frac{\d p}{\d x}dSdx + = -\frac{\d p}{\d x}dV \implies d\vec D = -\nabla p dV \\ + dm\frac{d\vec v}{dt} = d\vec F + d\vec D\hspace{1cm}/dV\implies \frac{dm}{dV}\frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec F}{dV} - \nabla p \\ + \rho \vec a = \vec f - \nabla p. \hspace{1cm} $Если в равновестии: $ \vec a = \vec 0 \implies + f = \nabla p +$ + +А теперь вывод уравнения (ПО АЛЕШКЕВИЧУ): Билет 52. Основы гидро- и аэростатики. Давление и сила давления. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля. Гидравлический пресс. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} + \setlength\itemsep{0cm} + \item Давление $p_{ij}=-\sigma_{ij}$ + \item Закон паскаля: $\forall \{x,y,z,\alpha,\beta,\gamma\}:p = const$, или словами: + В покоящейся жидкости во всех точках и во всех направлениях давление постоянно. + Доказательство: условие равновестия кубика (противоположные грани) + треугольника (соседние грани) + \item Силы давления: это давление умноженное на площадь поверхности, к которой они приложены + \item Гидравлический пресс: есть 2 соединённых трубки разной толщины. по закону паскаля $F_1S_1 = F_2S_2 = const + \implies F_2 = \frac{S_1}{S_2}F_1$ + \item основное уравнение гидростатики: пусть на кубик действует сила $\vec fdV$. + Для равновесися: $p(x,y,z)dydz-p(x+dz,y,z)dydz+f_xdxdydz = 0 \implies + -\frac{\d p}{\d x} + f_x = 0; + -\frac{\d p}{\d y} + f_y = 0; + -\frac{\d p}{\d z} + f_z = 0; + \\ + -\nabla p + f = 0,\quad$ (а если F консервативная, то...) $F = -\nabla U \implies \nabla (p + U) = 0 \implies p + U = const$ + \item Давление в поле силы тяжести: $F = mg \implies f = \rho g. U(x) = -\rho gx + const \implies p(x) = \rho gx + const = \rho gx + p_0$ - атмосферное давление + При вращении сосуда: $U(x, r) = -\rho gx - \frac 1 2 \omega^2 r^2 + const \implies p(x,r) = p_0 + \rho gx + \frac 1 2 \rho\omega^2 r^2$ +\end{itemize} Билет 53. Распределение давления в покоящейся жидкости (газе) в поле силы тяжести. Барометрическая формула. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item $\vec f = \nabla p$ + \item В жидкости: [см прошлый билет] + \item В газе: $\rho = \frac{\mu P}{RT}; \frac{\d p}{\d x} = - \rho g = -\frac{\mu P}{RT}g. + \quad T = const \implies P = P_0e^{-\frac{\mu g}{RT}x} = P_0 e^{-x/H}$ - это и есть барометрическая формула. $H$ - высота изотермической плотности +\end{itemize} Билет 54. Закон Архимеда. Условия устойчивого плавания тел. Центр плавучести и метацентр. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Сила архимеда действует на центр масс вытесненной жидкости (центр плавучести) + и по сути является равнодействующей сил давления + $\sum_i f_i\Delta S_i = -\sum_ip_i\Delta S_i \vec{n_i}$. Более простой способ посчитать силу: + $\vec{F_A} = -m\vec g$, где $m$ - масса заменённой жидкости + \item Метацентр: Центр кривизны линии, образованной центрами плавучести коробля при креновании + \item условия плавучести: $F_A > mg$; остойчивости под водой: ц.м. ниже ц.плавучести; остойчивости на воде [корабля]: + метацентрическая высота $OM > 0$. По госту для торговых судов $> 0.15$м, пассажирских $> 0.2$м + \item Крен, дифферент, малый и большой метацентр +\end{itemize} Билет 55. Стационарное течение жидкости (газа). Линии тока. Трубки тока. Идеальная жидкость. Течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли, условия его применимости. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Стационарное течение: такое, в котором поле скоростей не зависит от времени, а только от координаты + \item Линия тока: $\forall$ точкa: касательная $\supset$ вектор скорости частицы в данной точке + \item Трубка тока: Поверхность, образованная линиями тока через замкнутый контур + \item Идеальная жидкость: при любых движениях $\not\exists \sigma_\tau$ (кас. напряжения) + \item Течет так (одномерно): $m = \rho_1v_1S_1 = \rho_2v_2S_2;\;\rho=const \implies V=v_1S_1=v_2S_2 + \equiv \frac{\d v_x}{\d x} + \frac{\d v_y}{\d y} +\frac{\d v_z}{\d z} = 0 + \equiv \divergence \vec v = 0$ (условие несжимаемости) \\ + $\rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + v_x\frac{\d v_x}{\d x}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f + \equiv \rho \left(\dot{\vec v} + \vec v \nabla \vec v\right) = \vec f - \nabla p$ + + Вывод: $\rho \dot{v_x} = -\frac{\d p}{\d x} + f_x $ (II з.Н.) $ + \implies [dv_x = \frac{\d v_x}{\d t}\d t + \frac{\d v_x}{\d x}\d x] + \implies \rho\left(\frac{\d v_x}{\d t} + \frac{\d v_x}{\d x}\frac{\d x}{\d t}\right) = -\frac{\d p}{\d x} + f$ + \item Уравнение бернулли: частный случай: $\frac{\d v_x}{\d t}=0 \land f_x=0 \implies + \rho v_x \frac{dv_x}{dx} = -\frac{dp}{dx} \implies \frac{d}{dx}\left(\frac{pv_x^2}2 + p\right) = 0 \implies \\ + \implies \frac{\rho v_x^2}2 + p = const$ \\ + Общий вид: $\exists$ рандомная трубка, введём криволин. координату l вдоль неё. у. Эйлера: $\rho v \frac{dv}{dl} = -\frac{dp}{dl} + \rho g \cos\alpha + \stackrel{[\cos\alpha = -\frac{dh}{dl} \text{(геометрия)}]}\implies \rho \frac{d}{dl}\left(\frac{v^2}2\right) + \frac{dp}{dl} + \rho g\frac{dh}{dl} = 0 + \stackrel{[\rho=const]}\implies \frac{d}{dl}\left(\frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh\right) = 0 \implies + \\\implies \frac{\rho v^2}2 + p + \rho gh = const$ (Уравнение бернулли) \\ + $p$ - статическое давление; $\frac{\rho v^2}2$ - динамическое давление + \item уравнение бернулли можно применять, если жидкость идеальная, течение стационарное, + сечения потока плоские и $\perp v_{\text{частиц}}$; если жидкость сжимаемая, то $\Delta p=const \land dT = 0 \land $ течение неразрывное +\end{itemize} Билет 56. Сила вязкого трения. Закон Ньютона для вязкого трения. Вязкость. Число Рейнольдса. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Сила, которая появляется из-а относительных движений слоёв жидкости. Каждый слой действует на соседние, "усредняя их скорость" + \item Экспериментально установлено (Ньютоном): при движении 2 паралл. пластинок относ. друг друга в жидкости сила сопротивления + $F \propto S, v, \frac 1 h \implies F = \eta\frac{Sv}h$, но только если $h \ll \sqrt S$. Обусловлено тем, что + слои жидкости "увлекают" друг друга за собой + \item см. билет 58 +\end{itemize} Билет 57. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Формулы Пуазейля: расссотрим бесконечно маленький цилиндр в трубе. + $F_\text{тр.} = \eta S \frac{\d v}{\d r} = 2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r}$. Т.к. + течение стационарное ($v=const$), сила трения уравновешивается силой + разницы давлений $F_g = \pi r^2 (P(x) - P(x+dx)) = -\pi r^2 \frac{dP}{dx}dx$ \\ + $2\pi\eta rdx\frac{\d v}{\d r} = \pi r^2 \frac{dP}{dx}dx \stackrel{\frac{dP}{dx} = \frac{\Delta P}l} + \implies 2\eta\frac{\d v}{\d r} = r \frac{dP}{dx} \implies 2\eta dv = \frac{\Delta P}l\int_r^Rrdr = \frac{\Delta P}l\frac{R^2-r^2}2\\$ + $v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta l}(R^2-r^2)$. \\ + \item Теперь получим Поток вектора скорости через трубку тока (или объёмный расход жидкости): \\ + $Q_v = \int vdS = \int_0^R v(r)2\pi rdr = \frac{\pi R^4}{8\eta}\left(-{\frac{dP}{dx}}^{\left(=\frac{\Delta P}{l}\right)}\right) + = \frac{\pi R^4 (P_1-P_2)}{8\eta l}$ +\end{itemize} Билет 58. Ламинарное и турбулентное течение. Число Рейнольдса. Парадокс Даламбера. Лобовое сопротивление при обтекании тел. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item Ламинарное течение: жидкость движется слоями параллельно направлению течения, без перемещивания + \item Турбулентное течение: частицы соверщают хаотичное движение. + \item Число Рейндольса $Re = \frac{\rho v R}\eta$ Позволяет оценить ламинарность/турбулентность течения. + Определяется как отношение $W_\text{кин.}\text{ к }W_\text{пот.}$ + \item Парадокс Даламбера: Пусть есть шар в потоке. Если пользоваться уравнением Бернулли, то получается, + что линии тока просто обтекают шар и на него не действуют никакие силы (из соображений симметрии). + \item На самом деле $\exists F_{\text{лоб. сопр.}} = C_x(Re)\frac{\rho v^2}2S$, где + $C_x(Re)$ - зависимость коэффициента от числа Рейндольса + \item $Re \ll 1$: Ламинарное; $Re \sim 10$: первая (2 вихря), вторая (вихревая дорожка Кармана, вихри отрываются) стадии неустойчивости; + $Re > 100$: развитая турбулентность +\end{itemize} Билет 59. Циркуляция скорости. Подъемная сила. Формула Жуковского. Эффект Магнуса. -\begin{enumerate} - -\end{enumerate} +\begin{itemize} \setlength\itemsep{0cm} + \item циркуляция скорости: $\Gamma = \oint_L\vec vd\vec l$ + \item Подъёмная сила: $dF = (P_\text{снизу} - P_\text{сверху})Ldl$. Через + Ур-е бернулли: \\ $P_\text{Н}-P_\text{В} = \frac \rho 2 (v_\text{в} - v_\text{н}) + (v_\text{в}+v_\text{н}) \stackrel{v_\text{в}+v_\text{н} \approx 2v} \approx + \rho v \Delta v; F = \int P_\text{Н} - P_\text{В}Ldl = \rho vL\oint{\Delta v}dl + = \rho v L \Gamma$ \\ + Итак, формула жуковского: $\frac F L = \rho v \Gamma$ + \item Эффект Магнуса: в вязкой жидкости $\vec F \parallel [\vec \omega \times \vec v]$ +\end{itemize} \end{document} |