diff options
Diffstat (limited to '2025math.tex')
| -rw-r--r-- | 2025math.tex | 47 |
1 files changed, 44 insertions, 3 deletions
diff --git a/2025math.tex b/2025math.tex index 23ae3b5..ac16933 100644 --- a/2025math.tex +++ b/2025math.tex @@ -56,9 +56,9 @@ \section{Числовые множества и последовательности} \subsection{Определения} -Ограниченное множество $A$: $\e c \in \s R, \all a \in A: |a| < c$ +Ограниченное множество $\s A$: $\e c \in \s R, \all a \in \s A: |a| < c$ \\ -Окресность: интервал, содержащий точку $(a,b) := \{x \in R | a < x < b\}$ +Окресность: интервал, содержащий точку $(a,b) := \{x \in \s R | a < x < b\}$ \\ $\eps$-окресность: $(x-\eps, x+\eps)$ \\ @@ -714,7 +714,48 @@ $I(x_i, \xi_i) = \sum_{i=0}^n f(\xi_i)\Delta_i,\;\Delta_i = x_i - x_{i-1}$ на \subsection{Теоремы (с док-вом)} \begin{enumerate} -\item тут пиздец... +\item Пусть $f: \s X \to \s R, \ph: \s T \to \s X$. тогда $\int f(x)dx = \int f(\ph(t))\ph'(t)dt$ \\ +$\int f(x)dx = F(x) \overset{def}\implies \all x \in X F'(\ph(t)) = f(\ph)\ph'$ + +\item $uv', vu'$ интегрируемы, тогда $\int udv = uv - \int vdu$ \\ +$(vu)' = u'v + u'v \implies \int uv'dx = \int ((uv)' - vu')dx = \int (uv)'dx - \int vu'dx += uv - \int vu' dx$, интеграл существует по условию + +\item УРА СУММ ДАРБУ В ЭТОМ ГОДУ НЕ БУДЕТ, ЭТО СКИП ТИПА 20 ТЕОРЕМ + +\item Теорема о формуле среднего значения: если $f: \s X \to \s Y, g: \s X \to \s Z, +\sgn \s Z = const , f$ непрерывна, +а числа $m, M$ - нижняя и верхние грани $\s Y$ соответственно, то \\$\e \mu \in \s Y: +\int_a^bf(x)g(x)dx = \mu(a-b)\int_a^b g(x)dx$ \\ Док-во: +$f$ интегрируема $\implies$ ограничена $\implies \e \inf_{[a,b]}f(x) =: m, \sup_{[a,b]}f(x) =: M$\\ +\[ + m \leq f \leq M \implies mg \leq fg \leq M \implies m\int_a^bgdx \leq \int_a^bfgdx \leq M\int_a^bgdx + \implies \int_a^b fgdx \in \left[m, M\right] \cdot \int_a^bgdx +\] +$\int_a^bgdx = 0 \implies \int_a^bfgdx = 0 = \mu\int_a^bgdx, \mu \in \s R \\ +\mu := \frac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int_a^bg(x)dx} \in [m,M]$ \\ +Если $f$ непрерывна, то по т-ме о промеж. значении $\e c: f(c) = \mu \in [m, M]$ + +\item Теорема о сузществовании первообразной: $f$ непрерывна $ +\implies \exists F(x) = \int_a^xf(t)dt$. +Док-во: $F' = \dlim x \frac{\int_a^{x+\Dx}f(x)dx - \int_a^xf(x)dx}{\Dx} += \dlim x \frac 1 \Dx \int_x^{x+\Dx}f(t)dt = \dlim x \frac 1 \Dx f(\xi)\int_{x}^{x+\Dx}dt += \dlim x \frac {\from t x {x+\Dx}}\Dx f(\xi) = \\ = \dlim x f(\xi) \overset{\xi \in [x, x+\Dx]}= f(x)$ + +\item Формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx=F(a)-F(b), \text{ где } F'=f$ \\ +$\Phi(x) = F(x) + C = \int_a^xf(t)ft + C \implies \system { + &\Phi(a) = C \\ + &\Phi(b) = \int_a^bf(t)dt + C +} \implies \int_a^bf(t)dt = \Phi(b) - \Phi(a)$ + +\item Формула просто Лейбница: Через банального ньютона-лейбница... + +\item Теорема о методе замены переменной: $\int_a^bf(x)dt = \int_\alpha^\beta f(\ph(t))\ph'(t)dt$ \\ +Рассмотрим первообразную $F'(\ph(t)) = f(\ph(t))\ph'(t), \int_\alpha^\beta F'(\ph(t))dt = +F(\ph(\alpha)) - F(\ph(\beta)) =\\= F(a) - F(b) = \int_a^bf(x)dx$ + +\item Теорема об интегрировании по частям \\ + \end{enumerate} \section{Теоремы о диф. ф-ях} |