diff options
Diffstat (limited to '2025angem.tex')
| -rw-r--r-- | 2025angem.tex | 456 |
1 files changed, 456 insertions, 0 deletions
diff --git a/2025angem.tex b/2025angem.tex new file mode 100644 index 0000000..ef508d4 --- /dev/null +++ b/2025angem.tex @@ -0,0 +1,456 @@ + +\input{common.inc} + +\title{Экзамен по ангему, I семестр, 2025} + +\begin{document} +\maketitle + +\begin{quotation} +- ``Пошёл нахуй'' \\ +Цитата анона +\end{quotation} + + +\tableofcontents + +\section*{Обозначения} +\begin{itemize} + \item ЛЗ - Линейно зависимы + \item ЛН - Линейно независимы + \item ЛК - Линейная комбинация + \item ЛО - Линейная оболочка + \item ОНБ - ортонормированный базис + \item СЛУ - система линейных уравнений + \item ОСЛУ - однородная система линейных уравнений + \item ФСР - фундаментальное семейство решений + \item ЭП - элементарные преобразования + \item В 7 разделе я после 7 упражнения ввёл миллион обозначений чисто для той темы +\end{itemize} + +\section{Векторы} +\subsection{} +Линейные операции над векторами: +\ntab Сложение (по правилу треугольника) +\ntab Умножение на число ($\v a \prll \v b;\;|\v b| = |\lambda|\cdot|\v a|a;$ соноправлены если $\lambda > 0$, противонапр. если $\lambda < 0$) +\ntab Свойста: $a+b=b+a$, $a + (b+c) = (a+b) + c$, $\e 0: \v a + 0 = \v a$, $\e -\v a: \v a + (-\v a) = 0$, $(a + b)\v c = a\v c + b\v c$, $\e 1: 1\cdot \v a = \v a$ +\\ +Коллинеарные вектора: $\e l: \v a \prll l \land \v b \prll l \implies \v a \prll \v b$ (Они коллинеарны) +\ntab Для коллинеарности необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. +\ntab Достаточность: $\e \alpha, \beta: \v a \alpha + \v b \beta = 0 \implies a = -\frac \beta \alpha \v b$, определение умножения: коллинеарны +\ntab Необходимость: $\v a = \lambda \v b \implies 1 \v a + (-\lambda) \v b = 0$ - ЛЗ +\\ +Компланарные вектора: $\e \alpha \v a \prll \alpha \land \v b \prll \alpha \implies \v a, \v b$ +\ntab Для компланарности 3 векторов необх. и дост., чтобы они были ЛЗ +\ntab ЛЗ \textrightarrow Компл: $\alpha \v a + \beta \v b + \gamma \v c = 0 \implies c = -\frac \alpha \gamma \v a - \frac \beta \gamma \v b \implies \v c$ + на диагонали п-грамма со сторонами $\nu \v a, \mu \v b$ +\ntab Компл \textrightarrow ЛЗ: Теорема разложения: $\v c = \lambda \v a + \mu \v b$ - А тут уже по накатанной... +\\ +Базис: Совокупность (1, 2) 3 единичных \cancel{ЛЗ} векторов с общим началом +\ntab Разложение по базису: ЛК базисных векторов, координаты вектора: $\ss{s_1, s_2, s_3}$ - Коэффц-ы ЛК +\ntab Единственность разложения по базису: + \ntab существование: по лемме (4 вектора всегда линейно зависимы (док-ся через пересечение плоскостей, заданных парами векторов)) + Вектора $\ss{e_1, e_2, e_3, a}$ ЛЗ, тогда $\v a = \alpha \v e_1 + \beta \v e_2 + \gamma \v e_3$ + \ntab Единственность: пусть $\v a = \alpha_1 \v e_1 + \alpha_2 \v e_2 + \alpha_3 \v e_3 = \beta_1 \v e_1 + \beta_2 \v e_2 + \beta_3 \v e_3$. Тогда + $(\beta_1 - \alpha_1)\v e_1 + (\beta_2 - \alpha_2)\v e_2 + (\beta_3 - \alpha_3)\v e_3 = 0$, что противоречит \cancel{ЛЗ} базиса +\\ +Задача 4: $\v{CA_1} = \v r_1 - \v r_0 \implies \v r_2 = \v r_0 - \v r_1 + \v r_0 = 2\v r_0 - \v r_1$ +\\ +Задача 5: $A_1B = kA_1A_2, k \in [0, 1] \implies \v r - \v r_1 = k\v r_2 - l\v r_1 \implies \v r = k\v r_2 - (k-1)\v r_1 = \alpha \v r_2 + \beta \v r_1, + \alpha + \beta = 1, \alpha,\beta \in [0, 1]$ +\\ +Задача 6: -\\ +Задача 7: -\\ +Задача 8: -\\ +Определение Скалярного произведения: $\v a \cdot \v b = |\v a|\cdot|\v b|\cdot \cos(\v a, \v b)$ +\ntab Свойства: $\v a \cdot \v b = \v b \cdot \v a$, $(\lambda\v a) \cdot \v b = \lambda (\v a \cdot \v b)$, $\v a \cdot \v a = |\v a|^2$ - очевидно +\ntab $(\v a + \v b)\cdot \v c = \v a \cdot \v c + \v b \cdot \v a$. Док-во: поделим на $|\v c|$, рассмотрим ОНБ: $\v e_1 = \v c$. Тогда + $\v a\cdot \v c = a_1, \v b \cdot \v c = b_1, (\v a + \v b)\cdot \v c = a_1 + b_1$ (координата суммы равна сумме координат) +\\ +Формула скалярного произведения: $\v a \cdot \v b = \sum_i (a_i\v e_i \cdot \v b) = \sum_i a_i (\sum_j b_j\v e_j)\cdot \v e_i = \sum_{i,j} a_ib_j(\v e_i\cdot\v e_j) = \sum_k a_kb_k$ +\\ +Векторное пр-е: $\v c = \v a \times \v b, \v c$: $|\v c| = area \Pi(\v a, \v b) \land \v c \perp \v a \land \v c \perp \v b \land (\v a, \v b, \v c)$ имеет положительную ориентацию + $\ntab \v a \times \v b = \mrxdet{ + \v e_1 & \v e_2 & \v e_3 \\ + a_1 & a_2 & a_3 \\ + b_1 & b_2 & b_3 + }$ +\\ +Св-ва векторного пр-я: +\ntab $\v a \times \v b = -\v b \times \v a, (\lambda \v a)\times\v b = \lambda [\v a \times \v b]$ - очевидно напрямую из определения +\ntab $(\v a + \v b) \times \v c = \v a \times \v c + \v b \times \v c$. + Док-во: рассмотрим $\v d = (\v a + \v b) \times \v c - \v a \times \v c - \v b \times \v c \ntab + \v d \cdot \v d = \langle\v a + \v b, \v c, \v d\rangle - \langle \v a,\v c, \v d \rangle - \langle\v b,\v c, \v d\rangle = 0 \implies \v d = 0$. +\\ +бац минус цаб: $\v a \times [\v b \times \v c] = \v b(\v a \cdot \v c) - \v c(\v a \cdot \v b)$ +\\ +Тождество Якоби: $\v a \times [\v b \times \v c] + \v b \times [\v c \times \v a] + \v c \times [\v a \times \v b] = 0$ +\ntab Док-во: расписать бац минус цаб +\\ +Задача 14:- \\ +\\ +Смешанное пр-е: $\la\v a, \v b, \v c\ra = \v [a\times \v b] \cdot \v c$. Геом. Смысл: $\la\v a, \v b, \v c\ra = V_{or}(\v a, \v b, \v c)$ (Ориентированный объём п-пипеда) +\\ +Cв-ва смешанного пр-я: косимметрично по каждой паре аргументов и линейно по каждому аргументу +\ntab Косимметричность: $\la a, b, c \ra = -\la b, a, c \ra$ e.t.c. Следует из: ориентация $a, b, c$ противоположна $b, a, c$ - следует из поворота $b\to a, a\to b$ +\ntab линейность: по 3 аргументу следует из скалярного пр-я, отсюда же и для остальных аргументов +\\ +Формула см-ого пр-я: Док-во: Сначала доказываем формулу векторного пр-я: \ntab По линейности расписываем для 3 координат и получаем: \\ + $ a_1b_1\underbrace{[\v e_1\times \v e_1]}_{=0} + + a_1b_2\underbrace{[\v e_1\times \v e_2]}_{=\v e_3} + + a_1b_3\underbrace{[\v e_1\times \v e_3]}_{=-\v e_2} + + a_2b_1\underbrace{[\v e_2\times \v e_1]}_{=-\v e_3} + + a_2b_2\underbrace{[\v e_2\times \v e_2]}_{=0} + + a_2b_3\underbrace{[\v e_2\times \v e_3]}_{=\v e_1} \\ + + a_3b_1\underbrace{[\v e_3\times \v e_3]}_{=\v e_2} + + a_3b_2\underbrace{[\v e_1\times \v e_1]}_{=-\v e_1} + + a_3b_3\underbrace{[\v e_3\times \v e_3]}_{=0} + = \mrxdet{a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3}\cdot \v e_1 + + \mrxdet{a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1}\cdot \v e_2 + + \mrxdet{a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2}\cdot \v e_3 + \implies \\ \implies \la \v a, \v b, \v c\ra = \mrxdet { + a_1 & a_2 & a_3 \\ + b_1 & b_2 & b_3 \\ + c_1 & c_2 & c_3 \\ +}$ +\\ +Правая тройка относительно базиса: Положительно ориентированная тройка векторов. положительно ориентированная: Тогда, когда ориентированный объём (смешанное произведение) больше нуля +\ntab ИЛИ: поворот $\v a$ к $\v b$ с конца $\v c$ виден по радианной стрелке +\\ +Задание 18: Просто расписать всё по координатам и.. \textbf{страдать.} + +\subsection{} +Пока что ничего, но скоро прибудет... + +\section{<Голосом Голубцова> \textit{Матрицы!}} +\subsection{} +Линейные операции: Операции сложения и умножения матрицы на число. +\ntab $\b A^m_n + \b B^m_n = \b C^m_n: c^i_j = a^i_j + b^i_j$ +\ntab $\lambda \b A_n^m = B^m_n: b^i_j = \lambda a_j^i$ +\\ +Линейная комбинация столбцов: если есть $\mrx{S_1 & S_2 & \cdots & S_n}$, то ЛК столбцов: $S = \alpha_1S_1 + \alpha_2S_2 + \cdots + \alpha_nS_n$ +\ntab Линейная оболочка: Множество всех линейных комбинаций столбцов +\ntab$L(S_1, S_2, \dots) = \ss{\alpha_1S_1 + \alpha_2S_2 + \dots | \alpha_{1,2,\dots}\in \s K}$ +\ntab Пример ЛО: Если на плоскости задан 1 вектор и его координаты записаны в столбец, то его линейная оболочка - все коллинеарные ему вектора +\\ +ЛЗ столбцы: $\e$ Нетрив. ЛК $=0$. Соответственно, ЛН - $\not \e$. Пример: Любые 4 вектора ЛЗ +\\ +Теорема о ЛЗ столбцах: +\ntab семейство ЛЗ, если : Есть повторения, есть 0, вектор можно представить в виде ЛК других, есть ЛЗ подсемейство +\ntab Если ЛН : любое подсемейство ЛН - ЛН, если $x_1\cdots x_r$ ЛН, а $x_1\cdots x_r, x$ ЛЗ, то $x$ - ЛК $x_1\cdots x_r$, и если $x_1\cdots x_r$ ЛН, и $\not \e$ ЛК $=x$, то $x_1\cdots x_r, x$ - ЛН +\ntab Док-во: Для ЛЗ семейств: легко привести пример +\ntab Для ЛН подсемейства: $\lnot(\text{с. ЛЗ} \implies \text{подс. ЛЗ}) \equiv \lnot \text{с. ЛЗ} \implies \lnot \text{подс. ЛЗ} \equiv \text{с. ЛН} \implies \text{подс. ЛН}$ +\ntab Для последних двух: составляем ЛК. потом по контрапозиции отрицание. +\\ +След матрицы: $\tr A^n_n = \sum_{i=1}^nA_i^i$. +\ntab $\tr (A+B) = \tr A + \tr B$: Следует из правила сложения матриц +\\ +Произведение матриц: $\b A^m_p \cdot \b B^p_n = \b {AB}^m_n: \ss{\b A \b B}^i_j = \sum_{r=1}^p a^i_r\cdot b^r_j$. Словами: каждый ${}^i_j$ элемент равен сумме произведения $i$-ой строки $\b A$ и $j$-ого столбца $\b B$ +\\ +$\b A \b B = \b 0$. Контрпример: $\mrx{0 & 1 \\ 0 & 0}\cdot\mrx{1 & 0 \\ 0 & 0} = \b 0$ +\\ +Чтобы получить первый столбец $\b A$: $\mrx{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$, первую строку: домножить слева на $\mrx{1 & 0 & \cdots & 0}$ +\\ +Сво-ва умнож: ассоциативность, дистрибутивность слев,и справа, единичная матрица, $\tr\b{AB} = \tr\b{BA}$ +\ntab Док-во: Ассоциативность через определение поэлементного умножения, аналогично дистрибутивность +\ntab $\system{ + &\b{AB}^i_j = \sum_{r=1}^na^i_r\cdot b^r_j, \tr\b{AB} = \sum_{i = 1}^m\sum_{r=1}^na^i_r\cdot b^r_i \\ + &\b{BA}^i_j = \sum_{r=1}^ma^k_j\cdot b^i_k, \tr\b{BA} = \sum_{i = 1}^n\sum_{k=1}^ma^k_i\cdot b^i_k +}$ +\\ +10-13 задания тривиальны и решаются по определению +\\ +Транспонированная матрица: $\b {\ss{A^T}}^j_i =\b{\ss A}^i_j$ +\ntab Свойства: Линейность, инволютивность, транспонирование произведения, транспонирование обр-ой матрицы +\ntab $\left(\alpha \b A + \beta \b B\right)^T = \alpha \b A^T + \beta \b B^T$ - тривиально +\ntab $(\b A^T)^T = \b A$ - тривиально +\ntab $(\b A \cdot \b B)^T = \b B^T \cdot \b A^T$. $\ss{(\b{AB})^T}^j_i = \ss{\b{AB}}^i_j = \sum_{r=1}^pa^i_rb^r_j = \sum_{r=1}^p\ss {\b B^T}^j_r\ss {\b A^T}^r_i = \ss{\b B^T\b A^T}^j_i$ +\ntab $(\b A^T)^{-1} = (\b A^{-1})^T$ +\\ Обратная матрица: $\b A^{-1}: \b{AA}^{-1} = \id$. $\e \b A^{-1}$ только если $\b A$ невырождена ($\det \b A \neq 0$) +\ntab Единственность: $\b{AB}=\b{BA} = \b{AC}=\b{CA}=\id \implies \b B = \b B\id = \b B(\b {AC}) = (\b{BA})\b C = \id \b C = \b C, \b B = \b C$ +\\ +$\b A = \mrx{a & b \\ c & d} \implies \b A^{-1} = \frac 1 {\det \b A}\mrx{d & -c \\ -b & a}$ +\\ +Cвойства обр. матрицы: $\id^{-1} = \id;\; (\b{AB})^{-1} = \b A^{-1}\b B^{-1};\; (\b A^{-1})^{-1} = \b A$ +\ntab док-во: первое очевидно из определения, второе очевидно из ассоциативности ($(\b A\b B)(\b B^{-1} \b A^{-1}) = \id$), третье легко получить из второго ($\inv{(\inv {\b A})}\inv {\b A} = \id$) +\\ +Задание 18: Доказать, что $(\inv P A P)^k = \inv P A^k P$. +\ntab $\b(\inv P A P)^k = \underbrace{(\inv P A P)\cdots(\inv P A P)}_{k \text{ раз}} = \inv P A \underbrace{(P \inv P)A \cdots (P \inv P)A}_{k-1 \text { раз}} P = \inv P \underbrace{(A \id)\cdots(A \id)}_{k-1 \text{ раз}} A P = \inv P A^k P$ + +\subsection{} +Пока ничего, но скоро... + +\section{Определители! (\textit{Тоже голосом ПВГ})} +\subsection{} +\begin{itemize} +\item Определение определителя 2 порядка: $\mrxdet{a & b \\ c & d} = ad - bc$\\ +Свойство линейности: $\mrxdet{\alpha_1a_1 + \alpha_2a_2 & b \\ \alpha_1c_1 + \alpha_2c_2 & d} = \alpha_1\mrxdet{a_1 & b \\ c_1 & d} + \alpha_2\mrxdet{a_2 & b \\ c_2 & d}$\\ +Косимметричность: $\mrxdet{a & b \\ c & d} = -\mrxdet{b & a \\d & c}$ +\item Формулы крамера: $\system{ + ax + by = p \\ + cx + dy = q + } \implies \system{ + (ad-bc)x = pd - qb \\ + (ad-bc)y = qa - pc + } \implies \system{ + x = \frac{pd-qb}{ad-bc} = \frac{\mrxdet{p & b \\ q & d}}{\mrxdet{a & b \\ c & d}} = \frac{\det \b S_x}{\det \b S} \\ + y = \frac{qa-pc}{ad-bc} = \frac{\mrxdet{a & p \\ c & q}}{\mrxdet{a & b \\ c & d}} = \frac{\det \b S_y}{\det \b S} + }$ +\item Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы ЛЗ. \\ + Док-во: + \ntab достаточность: $\alpha S_1 + \beta S_2 = 0 \implies S_1 = -\frac \beta \alpha S_2 = \gamma S_2. \det |S_1, S_2| = \frac 1 \gamma \det |S_2, S_2| = 0$\\ + \ntab Необходимость: $ad-bc = 0 \implies ad = bc \implies \frac a b = \frac c d \implies \system{a = \alpha b \\ c = \alpha d} \implies \mrx{a\\c} - \alpha \mrx{b \\ d} = 0$ +\item Определитель третьего порядка: числовая функция столбцов матрицы $\det: \underbrace{\s K^3 \times \s K^3 \times \s K^3}_3 \to \s K$ + \ntab Формула: $\mrxdet{a & b & c \\ + d & e & f \\ + g & h & i} = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg$ + \ntab Линейность по столбцам: +\item примечание: Для определителей 2 и 3 порядков все свойства доказываются через тупое расписывание... +\item Формула определителя в общем виде: $\dst \det \s A = \sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{inv(\sigma)}\prod_{i=1}^na^{\sigma(i)}_i$. Через это определение доказываются все свойства в общем виде. +\item разложение определителя по столбцу: $\\\mrxdet { + a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 \\ + a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 \\ + a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 \\ +} = +(-1)^{1 + 1}a^1_1 \mrxdet{a^2_2 & a^2_3 \\ a^3_2 & a^3_3} + +(-1)^{2 + 1}a^2_1 \mrxdet{a^1_2 & a^1_3 \\ a^3_2 & a^3_3} + +(-1)^{3 + 1}a^3_1 \mrxdet{a^1_2 & a^1_3 \\ a^2_2 & a^2_3}$ +\item Минор $M^i_j$ - определитель, получившийся вычёркиванием $i$-ой строки и $j$-ого столбца. Алгебраическое дополнение - этот минор, умноженный на $(-1)^{i+j}$ +\item Фальшивое разложение: Если разложить определитель по $j$-ому столбцу, заменить $j$-ый на $p$-ый, то получится определитель матрицы с ЛЗ столбцами, равный $0$. Тогда можно записать: + \ntab $\sum_{j=1}^na^j_pA^k_q = \delta_{pq}\det A$, где $A^i_j$ - алгебр. доп-я, $\delta_{ij} = \system{1, i=j\\0, i \neq j}$ - символ кронкера +\item Критерий равенства нулю определителя доказывается аналогично определителю 2-ого порядка +\item Определитель произведения: $\dst C = AB.\;C_k = \sum_{r=1}^nA_rb^r_k.\;\det C = \det \mrxddet{C_1,\dots,C_n} =\\= + \det \mrxddet{\dst \sum_{r=1}^nA_rb^r_1, \dots, \sum_{r=1}^nA_rb^r_n} = \sum_{r_1 = 1}^n\cdots\sum_{r_1=1}^n b_1^{r_1}\cdots b_n^{l_n}\cdot \det\mrxddet{A_{r_1}, \dots, A_{r_n}} + = \sum_{\sigma \in S_n}b_1^{\sigma_1}\cdots b_n^{\sigma_n}\det\mrxddet{A_{\sigma_1}, \dots, A_{\sigma_n}} = \\ + = \underbrace{\det \mrxddet{A_1,\dots,A_n}}_{\det \b A} \underbrace{\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{inv \sigma}\prod_{i=1}^n b_i^{\sigma_i}}_{\det \b B} = \det\b A\cdot\det\b B$ +\item теорема о существовании обратной матрицы:$\det \b A \neq 0 \implies \e \b A^{-1} : \b A \cdot \b A^{-1} = \id$ + \ntab Необходимость: из предыдущей теоремы $|\b A\cdot\b A^{-1}| = |\id| = 1 \implies |\b A| \neq 0$ + \ntab Достаточность: Рассмотрим $\b A^{\lor} (\adj \b A) : \ss{A^{\lor}}^i_j = \mathcal A^i_j;\;\ss{\b A\cdot \b A^\lor}^i_j = \sum_{r=1}^n\ss{\b A}^i_r\ss{\b A^\lor}^r_j + = \sum_{r=1}^na^i_r\mathcal A^j_r = \ntab = \det A \delta_{ij} \implies \b A\cdot \b A^\lor = |\b A|\cdot \id \implies A^{-1} = \frac 1{\det \b A}\b A^\lor$. +\end{itemize} +\subsection{} +Бля честно скоро я начну вторые разделы... + +\section{Уравнения прямых и плоскостей... Теория!} +\subsection{} +\begin{itemize} +\item Уравнения прямой: + \ntab $l: \wrap[]{\v r(t) = \v r_0 + \v s t} \equiv \wrap[]{\system{x = x_0 + t_x t \\ y = y_0 + t_b t \\ z = z_0 + t_z t}} \equiv \dst \wrap[]{\frac{x-x_0}{t_x} = \frac{y-y_0}{t_y} = \frac{z-z_0}{t_z}} \equiv \wrap[]{\mrxdet{x-x_0 & y-y_0 \\ t_x & t_y} = 0}$ + \ntab Смысл: что-то направляющий вектор, что-то начальная точка +\item Нормальное уравнение прямой: + \ntab $\wrap[]{(\v r - \v r_0)\cdot \v n = 0} \equiv \wrap[]{\v r \cdot \v n = D} \equiv \wrap[]{A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0} \equiv \wrap[]{x\cos\alpha + y\cos\beta = p}$ + \ntab $n$ - нормальный вектор, $\cos$ - направляющие косинусы, $\dst p = \frac D {\sqrt{A^2+B^2}}$ - расстояние до прямой от начала координат, $x_0, y_0$ - точка, к которой опускается перпендикуляр +\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$. Площадь п-грамма: $\wrap||{(\v r_0 - \v p_0)\times \v s} = d|\v s| \implies d = \dst\frac{\wrap||{(\v r_0 - \v p_0)\times \v s}}{|\v s|}$ +\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$, проекция: $\dst \v r_0 + \v s t - \v p_0 \perp \v s \implies t = \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s|^2}; \v r = \v r_0 + \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s^2|}\v s$ +\item Прямая $l: \v r = \v r_0 + \v s t$, точка: $\v p_0$, $\v r = \v r_0 + \frac{(\v p_0 - \v r_0)\cdot \v s}{|\v s^2|}\v s; \v p' = 2\v r - p_0$ +\item уравнение плоскости: $\wrap[]{\v r = \v r_0 + \v a t + \v b s} \equiv \wrap[]{\system{ + x = r_x + a_x t + b_x s \\ + y = r_y + a_y t + b_y s \\ + z = r_z + a_z t + b_z s +}} \equiv \wrap[]{\mrxdet{x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z} = 0} \equiv\\\equiv +\wrap[]{A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0} \equiv \wrap[]{Ax + By + Cz = D}$ +\item Нормальное уравнение плоскости: $\wrap[]{(\v r - \v r_0)\cdot \v n = 0} \equiv \wrap[]{\v r \cdot \v n = D} \equiv \wrap[]{\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1}$ + \ntab Последнее - в отрезках, $a, b, c$ - точки пересечения с координатными осями. Векторные уравнения в ортонормированном базисе. В прошлом пункте $\vec n = \ss{A, B, C}$ +\item Расстояние от точки $p = \ss{p_x, p_y, p_z}$ до плоскости $\alpha: A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ + \ntab $\dst \v r = \v r_0 - \v p;\; (\v r_0 - \v p) \cdot n = d|\v n| \implies d = \frac{\wrap||{\v n \cdot (\v r_0 - \v p)}}{\wrap||{\vec n}}$ + \item Проекция: $\dst \v p_\alpha = \v p + d\frac{\v n}{|\v n|} = \vec p + \frac{(\v r_0 - \v p)\cdot \v n}{|\v n|^2}\vec n$ + \item Симметр. точка: $\dst \v p' = \v p + 2d\frac{\v n}{|\v n|} = \vec p + 2\frac{(\v r_0 - \v p)\cdot \v n}{|\v n|^2}\vec n$ + \item Эээ... а я прямую в пространстве уже записал выше)))) +\end{itemize} +\subsection{} + +\section{Уравнения прямых и плоскостей... Задачи!} +\subsection{} +\begin{itemize} + \item метод скипа +\end{itemize} + +\section{Кривые второго порядка} +\subsection{} +\begin{itemize} + \item Эллипс - множество точек плоскости, для которых $F_1 + F_2 = const = 2a > 2c$, Где $F_1, F_2$ - расстояния до двух фокусов, $c$ - Расстояние между фокусами. + \ntab ИЛИ: \dots, для которых $\eps = \frac f d = const < 1$ + \item вывод канонического уравнения: У меня оно в другом конспекте, я не хочу перепечатывать сейчас... + \ntab Можно посмотреть вывод уравнения гиперболы ниже, он аналогичный (да, его не поленился печатать) + \item $\system{x = a\cos t \\ y = b \sin t}$, где $a, b$ отвечают за растяжение эллипса по соотв. координатам + \item Есть эллипс $\dst \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, найти Фок. расстояния. $\eps = \frac f d \implies f = \eps d; d = \wrapm{\frac a \eps \pm x}, d_{1,2} = a \pm \eps x + \ntab \eps = \frac c a = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ + \item Фокальное свойство: сумма фок. расст. = $const$ + \ntab Док-во: $\frac{f_1}{d_1} = \frac{f_2}{d_2} = \eps \implies f_1 + f_2 = \eps(d_1 + d_2) = \eps\wrapb{\frac a \eps - \wrapb{- \frac a \eps}} = 2a$ + \item Уравнение касательной к эллипсу: $\dst y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \implies y' = \frac{-bx}{a^2\sqrt{1 - \frac {x^2}{a^2}}} = -\frac{\frac{x}{a^2}}{\frac y{b^2}} = -\frac x y \frac{b^2}{a^2} + \ntab y - y_0 = f'(x_0,y_0)(x-x_0) \implies yy_0-y_0^2 = \frac{b^2}{a^2}\wrapb{-xx_0 + x_0^2} \implies \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ + \item Оптическое свойство эллипса: Фокальные радиусы составляют одинаковые углы с касательной. + \ntab Док-во: $\sin\alpha = \frac{p_1}{f_1}, \sin\beta = \frac{p_2}{f_2}, p$: расстояние от фокуса до касательной; $f$ - от фокуса до точки касания. + \ntab $\dst \system{&p_1 \overset{\text{расстояние до норм. прямой}}= \frac{\wrapm{\frac{x_0}{a^2}(-c) - \frac{y_0}{b_2}\cdot 0 - 1}}{\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}} = \frac{\wrapm{x_0\eps + a}}{a\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}}\\ &d_1 = |x_0\eps + a|} \implies \sin\alpha = \frac 1 {a\sqrt{\frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}}}$ + \ntab Если провести аналогичные действия для угла $\beta$ фокуса, получится та же формула. + \item Гипербола: множество точек плоскости, для которых разность докальных радиусов равна константе $=2a < 2c$ + \ntab ИЛИ: множество точек плоскости, для которых $\frac f d = \eps = const > 1$ + \ntab Вывод уравнения: $\frac f d = \eps = \sqrt{x^2+y^2}{|p-x|} \implies x^2+y^2 = \eps^2{p^2-2px+x^2} \implies + \ntab \implies (\eps^2-1)x^2 - y^2 = 2px\eps^2 - p^2\eps^2 \implies(\eps^2-1)\wrapb{x^2 + \frac{2p\eps^2}{\eps^2-1}x + \frac{p^2\eps^4}{(\eps^2-1)^2}} - y^2 = -p^2\eps^2 + \frac{p^2\eps^4}{\eps^2-1} \implies + \ntab \implies (\eps^2-1)\wrapb{x - \frac{p\eps^2}{\eps^2-1}}^2 - y^2 = \frac{p^2\eps^2}{\eps^2-1} \implies $$\dst \frac{\tilde x^2}{\frac{p^2\eps^2}{(\eps^2-1)^2}} - \frac{\tilde y^2}{\frac{p^2\eps^2}{\eps^2-1}} = 1 \equiv \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ + \item Наклонные ассимптотпы: $\dst y = b\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}; \lim_{x \to \infty}\frac y x = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac 1 {a^2} - \frac 1 {x^2}} = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac 1 {a^2} - 0} = \frac 1 a + \ntab \lim_{x\to\infty}y - \frac x a = \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} - \frac x a = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{a^2}-1 - \frac{x^2}{a^2}}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1} + \frac x a} \lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\infty} = 0 \implies + \ntab \implies \text{ассимптота: } y = \pm \frac x a$ + \item Фокальные радиусы через абсциссу (гипербола): $f = \eps d = \eps |\frac a \eps \pm x| = |a \pm \eps x|; \eps = \sqrt{1 - \frac {b^2}{a^2}}$ + \item Директориальное Св-во гиперболы: бля я ж из него уравнение выводил... а как... + \item Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично эллипсу + \item Парабола: множество точек, для которых $\frac f d = 1 = \eps$ + \ntab Вывод уравнения: $\sqrt{\wrapb{x-\frac p 2}^2 + y^2} = \wrapm{x + \frac p 2} \implies y^2 = 2px$ + \item уравнение касательной: $y = \pm \sqrt{2px}, y' = \pm \frac {p}{\sqrt{2px}}, f = f'(x_0)(x-x_0) + y_0 = \frac p {y_0}(x-x_0) + y_0 \implies + \ntab \implies yy_0 = p(x+x_0) + y_0^2$ + \item Оптическое свойство параболы: Угол между фокусом и любой точкой равен углу между касательной к этой точке и осью симметрии параболы + \ntab Док-во: $\dst \sin\alpha = \frac{\text{расст. от фок. до кас.} = d}{\text{фокаль. рад.} = f}; \tg\beta = f_\text{кас.}'(x) = \frac p {y_0} \implies \sin\beta = \frac 1 {\sqrt{1 + \frac{y_0^2}{p^2}}} + \ntab f = \sqrt{\wrapb{x_0 - \frac p 2}^2 + y_0^2} = \sqrt{x_0^2 + \underbrace{y_0^2 - 2px_0}_{=px_0} + \frac {p^2}4} = x_0 + \frac p 2 + \ntab d = \wrapm{\frac{\underbrace{y_0^2 - px_0}_{=px_0} +p\frac p 2 - y_0 \cdot 0}{\sqrt{y_0^2+p^2}}} = \wrapm{\frac{p(x_0 + \frac p 2)}{\sqrt{y_0^2+p^2}}} + \ntab \sin\alpha = \frac d f = \frac{p}{\sqrt{y_0^2+p^2}} = \frac 1 {\sqrt{1 + \frac{y_0^2}{p^2}}} = \sin\beta + \hspace{7cm}\blacksquare$ + \item Полярная система координат: + \ntab Парабола: $\dst x - \frac p 2 = r\cos\ph,\; r = f = d x + \frac p 2 \implies r = \frac p {1 - \cos\ph} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $ + \ntab Эллипс: $\dst x + c = r\cos\ph,\; r = f = d\eps = \eps x+a \implies r = \frac{a - \eps c}{1 - \eps\cos\ph} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $ + \ntab Гипербола: $\dst x - x = r \cos \ph, \; r = f = \eps x - a \implies r = \frac{\eps c - a}{\eps\cos\ph - 1} = \frac p {1 - \eps\cos\ph} $ + \ntab Для Эллипса и параболы: $p = a - \eps c$ +\end{itemize} + +\subsection{} +Дааа-дааа-да, проехали + +\section{Поверхности второго порядка} +\subsection{} +\begin{enumerate} + \item $\lambda x^2 + y^2 + z^2 = 1 : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ однополостной гиперболоид, ось симметрии: $Ox$ } \\ + &\lambda = 0 : \text{ цилиндр с единичной окружностью в основании, } \perp Oxy \\ + &\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид, сжатый по $Ox$ в $\sqrt\lambda$ раз} + }$ + \item $\lambda x^2 + y^2 + z^2 = \lambda : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид, ось симметрии: $Ox$ } \\ + &\lambda = 0 : \text{ прямая } y = z = 0 \text{ (ось $x$) } \\ + &\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид, сжатый по $Oy, Oz$ в $\sqrt\lambda$ раз} \\ + }$ + \item $x^2 + y^2 - z^2 = \lambda : \system { + &\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид, ось симметрии: $Oz$ } \\ + &\lambda = 0 : \text{ Бексонечный конус, ось симметрии: $Oz$ } \\ + &\lambda > 0 : \text{ Однополостной гиперболоид, ось симметрии: $Oz$ } \\ + }$ + \item $x^2 + \lambda(y^2 + z^2) = 1 : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Двуполостной гиперболоид } \\ + &\lambda = 0 : \text{ Две плоскости, параллельные $Oyz$ и проходящие через $x=\pm 1$} \\ + &\lambda > 0 : \text{ Эллипсоид... сжат по оси $y, z$ в $\sqrt \lambda$ раз} \\ + }$ + \item $x^2 + \lambda(y^2 + z^2) = \lambda$: Я заебался + \item $\lambda x^2 + y^2 = z : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Гиперболический параболоид, по $Oy$ ветви вверх, по $Ox$ ветви вниз } \\ + &\lambda = 0 : \text{ парабола с ветвями вверх, растянутая перпендикулярно оси $Ox$ } \\ + &\lambda > 0 : \text{ Эллиптический параболоид, ветви вверх } \\ + }$ + \item $\lambda(x^2 + y^2) = z : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Эллиптический параболоид, ветви вниз } \\ + &\lambda = 0 : \text{ плоскость $Oxy$ } \\ + &\lambda > 0 : \text{ ЭП, ветви вверх } \\ + }$ \\ + Отныне я заебался и ввожу обозначения: + \ntab Э, Г, П - Эллипс(-оид), Гипербола(-оид), парабола соответственно + \ntab ОГ, ДГ - (одно-, двух-)полостной Г + \ntab ЭП, ГП - Эллиптический и Гиперборлический параболоид соответственно + \ntab О - окружность, Ш - шар + \item $x^2 + y^2 = \lambda : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Мнимая О } \\ + &\lambda = 0 : \text{ точка } \ss{0, 0} \\ + &\lambda > 0 : \text{ О с радиусом } r = \sqrt \lambda \\ + }$ + \item $x^2 - y^2 = \lambda : \system{ + &\lambda < 0 : \text{ Г, Фокусы на оси $y$ } \\ + &\lambda = 0 : \text{ Две прямых } y = \pm x \\ + &\lambda > 0 : \text{ Г, Фокусы на оси $x$ } \\ + }$ + \item $x^2 + 2y^2 -3z^2 = 1, x = \ss{0, 1, 2} : \system{ + &x = 0: 2y^2 - 3z^2 = 1 &-& \text { Г, фокусы на y } \\ + &x = 1: 2y^2 - 3z^2 = 0 &-& \text { Две прямые } z = \pm \sqrt{\frac 2 3}y \\ + &x = 2: -2y^2 + 3z^2 = 3 &-& \text { Г, фокусы на z } \\ + }$ + \item буквально то же самое задание + + \item $2x^2 - y ^2 = 2z, x = \ss {0, 1, 2} : \system{ + &x = 0: z = -\frac 1 2 y^2 &-& \text { Парабола с ветвями вниз, вершина в $0$ }\\ + &x = 1: z = 1-\frac 1 2 y^2 &-& \text { То же самое, вершина в $1$ }\\ + &x = 2: z = 4-\frac 1 2 y^2 &-& \text { Вершина в $4$ }\\ + }$ + \item Бля то же самое + \item ТО ЖЕ САМОЕ НАХУЙ + \item $x^2 - y^2 = 1$ - Гиперболический цилиндр + \ntab Уравнение образующей в точке $\ss{x_0, y_0, z_0}: \system { + &x = x_0 \\ + &y = y_0 \\ + &z = t + }, t \in \s R$ + \item $x^2 + y^2 - z^2 = 1$ - Однополостной гиперболоид. Уравнение образущей:\\ + $(x-z)(x+z) = (1 - y)(1 + y) \implies \vsystem[{ + \system{ + &k_1(x_0-z_0)=l_1(1-y_0)\\ + &l_1(x_0+z_0)=k_1(1+y_0)\\ + } \\ + \system{ + &k_2(x_0-z_0)=l_2(1+y_0)\\ + &l_2(x_0+z_0)=k_2(1-y_0)\\ + } + } \overset{\text{выбрать }k, l}\implies \vsystem[{ + \system{ + &a_1x + b_1y + c_1z - D_1 = 0\\ + &a_2x + b_2y + c_2z - D_2 = 0\\ + } \\ + \system{ + &a_3x + b_3y + c_3z - D_3 = 0\\ + &a_4x + b_4y + c_4z - D_4 = 0\\ + } + } \implies \\ \overset{\v n_1 = \ss{a_1, b_1, c_1}, \v n_2 = \dots}\implies\vsystem[{ + &l_1 = \vec p + [\v n_1\times\v n_2]t \\ + &l_2 = \vec p + [\v n_3\times\v n_4]t \\ + }, t \in \s R$ + \item Прямолинейная образующая: Линия, которая целиком принадлежит поверхности второго порядка (каждая её точка принадлежит поверхности). + Однолинейчатые: все цилиндры; Двухлинейчатые: ГП и ОГ +\end{enumerate} + +\section{СЛУ, Ранг и всякая параша} +\subsection{} +\begin{enumerate} + \item Докажите, что ОСЛУ имеет нетрив. решение $\Leftrightarrow$ столбцы основной матрицы ЛЗ + \ntab Допустим, $\e x_1, x_2\dots$, удовл. $x_1\mathcal A_1 + x_2\mathcal A_2 +\dots = 0$. Это определение ЛЗ + \item Докажите, что любая ЛК решений ОСЛУ является решением ОСЛУ: + \ntab $x^kA_k = 0, y^kA_k = 0. (x^k+y^k)A_k = x^kA_k + y^kA_k = 0 + 0 = 0 \implies x + y$ - решение ОСЛУ + \item ФСР - Базис в пространстве решений. Другими словами: Такое решение, что любое другое решение можно представить в виде ЛК ФСР. + \ntab ФСР $x_1 + x_2 + x_3 = 0 : \mrx{x_1\\x_2\\x_3} = \mrx{0 \\ 0 \\ 0} + t\mrx{-1 \\ 1 \\ 0} + s\mrx{-1 \\ 0 \\ 1}$, базисная переменная: $x_1$, + \ntab общее решение: $x_1 = -x_2 - x_3 \;|\; x_2, x_3 \in \s R$ + \item Докажите, что $AX=B : X_1, X_2$ - рещения, то $X_1-X_2$ - решение $AX = 0$ + \ntab $AX_1 = AX_2 = B \implies AX_1 - AX_2 = A(X_1-X_2) = 0$ + \item $x_1 + x_2 + x_3 = 1$, Общее решение ОСЛУ: $\mrx{-1\\1\\0}t_1 + \mrx{-1\\0\\1}t$. Частное Р: $\mrx{1\\0\\0}$. + \ntab Общее Р: $\mrx{x_1\\x_2\\x_3} = \mrx{1\\0\\0}+\mrx{-1\\1\\0}t_1 + \mrx{-1\\0\\1}t$ + \item Алгоритм Гаусса-Жордана: Приводит матрицу системы к упрощённому виду. \\ + \texttt{ + \hspace*{0cm} cur\_row := 0\\ + \hspace*{0cm} for column in columns:\\ + \hspace*{1cm} if column[cur\_base] == 0:\\ + \hspace*{2cm} continue // find next column with non-0\\ + \hspace*{1cm} swap\_column(find\_col(MAX\_ZEROES, from=cur\_base), column) // get col with max 0-s\\ + \hspace*{1cm} for row in rows exclude cur\_base:\\ + \hspace*{2cm} add\_to(dest: row, src: row, mul: -row[index(column)])\\ + } + \item Обратная матрица по Жордану: $\b A \to \id \equiv \mathcal R(\b A) = \id \equiv \mathcal R(\id)\cdot \b A = \id \implies \mathcal R(\id) = \b A^{-1}$ + \ntab Значит, если привести $\b A$ к $\id$, а потом повторить эти действия на $\id$, получим обратную матрицу + \item Подпространство: $\mathcal P \Subset \s K : \all \b {x, y} \in \mathcal P, \all \alpha, \beta \in \s K: \alpha \b x + \beta \b y \in \mathcal P$ + \ntab Размерность: $\e n \in \s N \all k, k > n \all \b x_1, \dots, \b x_k$ - ЛЗ (пр-во конечномерное) $\Rightarrow$ $n$ -размерность $\mathcal V$ + \ntab Базис: Семейство ЛН векторов в пр-ве $\mathcal P$, таких, что $\all x \in \mathcal P = \text{ЛК} \ss{\b e_1, \dots, \b e_n}$ + \item Доказать, что размерность ЛО строк $\dim L(\b A_1, \dots, \b A_n)$ - инварианта ЭП + \ntab Для перестановки строк: $\dots a_nx_n, a_{n+1}x_{n+1} \dots \to \dots a_nx_{n+1} a_{n+1}x_n \dots$ - поскольку $a_n, a_{n+1}$ берутся из $\s K$, линейная оболочка не меняется + \ntab Для умножения строки на число: $\dots a_nx_n \dots \to \dots \lambda a_n'x_n \dots$ - если брать $a_n' = \frac{a_n} \lambda$, ЛК не изменятся + \ntab $a_n \to a_n + \lambda a_m$ + \ntab Другое док-во: Т.к. $A'$ - ЛК $A$, то $\mathcal L(A_1',\dots) \subset \mathcal L(A_1, \dots)$. + \ntab В силу обратимости, $\mathcal L(A_1',\dots) \supset \mathcal L(A_1, \dots)$. Тогда $\mathcal L = \mathcal L'$ + \item Доказать то же самое, но для столбцов: + \ntab Если доказать, что при ЭП сохраняется линейная (не)зависимость столбцов (1): выделим максимальное семейство ЛН столбцов: Они сохранят ЛН, если добавим к семейству любой другой столбец, мы сохраним ЛЗ - получается, + $\max$ кол-во ЛН столбцов сохраняется, тодга $\dim\mathcal L = \dim\mathcal L'$ + \ntab Докажем (1): пусть $A_n$ - ЛН, $A_n'$ - ЛЗ, тогда $\e \alpha^n : \alpha^nA_n' = 0 = \alpha^n\mathcal (R(\id)A_n) = \mathcal R(\id) (\alpha^nA_n) = 0$. + \ntab Домножая на $C^{-1}$ слева получаем, $\alpha^nA_n = 0$, что противоречит ЛН столбцов $A$ + +\end{enumerate} + +\end{document} |